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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €20 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.

C₁ = €20 000g = 2,5%r = 5,5%

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €10 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?

P = €10 0005,4% / 12N = 60

I = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 5%YTM = 2,5%n = 6

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 9%. Trova la duration di Macaulay D in anni.

F = €1 000cedola = 3%n = 5YTM = 9%

D = anni

5.CAPM e WACCMedia

Un’azione con un beta di 0,6 ha un rendimento richiesto del 5,2%. Il tasso privo di rischio è del 1%. Quale rendimento atteso del mercato r_m implica il CAPM?

β = 0,6r_e = 5,2%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,1 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,5. L’aliquota fiscale è del 28%, il tasso privo di rischio del 3% e il premio per il rischio di mercato del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,5T = 28%r_f = 3%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Una macchina costa €50 000 oggi, dura 4 anni e costa €3 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 10%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.

C₀ = €50 000M = €3 000n = 4r = 10%

EAC = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €20 000 e restituisce €11 000, €12 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 12 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 666667 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Rendita perpetua crescente

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,055 − 0,025) = 20 000/0,03 = €666 666,67

Risposta

PV = €666 666,67

2.Valore temporale del denaro

Risposta: I = 1433 €

Rata mensile

i = 0,0045, N = 60

A = 10 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁶⁰) = €190,55

Interessi totali

I = N·A − P = 60·190,6 − 10 000 = €1 433,02

Risposta

I = €1 433,02

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1138 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €25,00, i = 0,0125, N = 12

Valore attuale delle cedole

€25,00·(1 − 0,8615)/0,0125 = €276,98

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,8615 = €861,51

Prezzo

P = €1 138,49

Risposta

P = €1 138,49

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: D = 4,669 anni

Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valore attuale di ogni flusso

t = 1: 30/1,09 = 27,52, t·PV = 27,52

t = 2: 30/1,188 = 25,25, t·PV = 50,50

t = 3: 30/1,295 = 23,17, t·PV = 69,50

t = 4: 30/1,412 = 21,25, t·PV = 85,01

t = 5: 1030/1,539 = 669,43, t·PV = 3 347,15

Duration

P = 766,62

D = 3 579,68/766,62 = 4,669

Risposta

D = 4,669 anni

5.CAPM e WACC

Risposta: r_m = 8 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Premio per il rischio di mercato

r_m − r_f = (5,2% − 1%)/0,6 = 7%

Rendimento di mercato

r_m = 1% + 7% = 8%

Risposta

r_m = 8%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 12,25 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,1/(1 + 0,72·0,5) = 0,8088

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 0,8088·(1 + 0,72·1,5) = 1,682

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,682·5,5% = 12,25%

Risposta

r_e = 12,25%

7.VAN e TIR

Risposta: EAC = 18774 €

Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.

Fattore di rendita

(1 − 1,1⁻⁴)/0,1 = 3,17

Prezzo d’acquisto annualizzato

50 000/3,17 = 15 773,54

EAC

EAC = 15 773,54 + 3 000 = €18 773,54

Risposta

EAC = €18 773,54

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 9,696 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(5%) = 1 360,54

NPV(10%) = −82,64

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 5 + 5·1 360,54/(1 360,54 − (−82,64)) = 9,714%

esatto: NPV(9,696%) = 0 → IRR = 9,696%

Risposta

IRR = 9,696%

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