Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 4,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.

C₁ = €8 000g = 1,5%r = 4,5%

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €20 0005,4% / 12N = 36

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 3%YTM = 5%n = 7

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 7 anni e quota €860. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 3%n = 7P = €860

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,3 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio del 2,5% e il premio per il rischio di mercato del 5,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,6T = 25%r_f = 2,5%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €30 000, €24 000, €22 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 30 000CF₂ = 24 000CF₃ = 22 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un investimento di €10 000 rende €2 000 alla fine di ogni anno per 7 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

C₀ = €10 000CF = €2 000n = 7

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 266667 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Rendita perpetua crescente

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0,045 − 0,015) = 8 000/0,03 = €266 666,67

Risposta

PV = €266 666,67

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 603 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·3 = 36

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,8508

A = 20 000·0,0045/(1 − 0,8508) = €603,02

Risposta

A = €603,02

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 883,1 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €15,00, i = 0,025, N = 14

Valore attuale delle cedole

€15,00·(1 − 0,7077)/0,025 = €175,36

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,7077 = €707,73

Prezzo

P = €883,09

Risposta

P = €883,09

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 5,46 %

Equazione del rendimento

€860 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Risolvi numericamente

P(5%) = €884,27, P(6%) = €832,53

YTM = 5,46%

Risposta

YTM = 5,46%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,86 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·13% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,258) = 8,86%

Risposta

WACC = 8,86%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 10,04 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,3/(1 + 0,75·0,5) = 0,9455

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 0,9455·(1 + 0,75·0,6) = 1,371

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,371·5,5% = 10,04%

Risposta

r_e = 10,04%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = 1578 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 30 000/1,12 = 26 785,71

CF₂/(1 + 0,12)² = 24 000/1,254 = 19 132,65

CF₃/(1 + 0,12)³ = 22 000/1,405 = 15 659,17

Sommali

NPV = €1 577,53

Risposta

NPV = €1 577,53

Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 9,196 %

Fattore di rendita richiesto

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 10 000/2 000 = 5

Ricava il tasso

Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.

i = 9%: 5,033

i = 10%: 4,868

IRR = 9,196%

Risposta

IRR = 9,196%

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