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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 a un tasso nominale del 5 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.
PV = €5 0005% / 12n = 6
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €25 000 tra 20 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €25 0004,8% / 12N = 240
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 9%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 12y0 = 9%y1 = 8,5%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 17 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 6%) viene venduta a €1 176. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 060. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%P = €1 176prezzo di richiamo = €1 060richiamo tra 3 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,4. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
D/E = 0,4re = 13%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 0,9 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,2. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio del 4% e il premio per il rischio di mercato del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un progetto costa €30 000 oggi e rende €9 000 alla fine di ogni anno per 4 anni. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €18 000, €16 000, €15 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 16 000CF3 = 15 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6745 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1176 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 1%: €1 205,28
y = 2%: €1 171,89
YTC = 1,875%
Risposta
YTC = 1,875%
Il rendimento a scadenza è del 4,497%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,01 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 0,9/(1 + 0,79·0,2) = 0,7772
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,7772·(1 + 0,79·0,6) = 1,146
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 1,146·4,5% = 9,155%
Risposta
re = 9,155%
7.VAN e TIR
Risposta: DPB = 3,834 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 9 000/1,06 = 8 490,57 → Σ = 8 490,57
anno 2: 9 000/1,124 = 8 009,97 → Σ = 16 500,53
anno 3: 9 000/1,191 = 7 556,57 → Σ = 24 057,11
anno 4: 9 000/1,262 = 7 128,84 → Σ = 31 185,95
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 3 + 5 942,89/7 128,84 = 3,834
Risposta
DPB = 3,834 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,333 anni).
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 45,37 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(45%) = 108,04
NPV(50%) = −1 296,30
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.