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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €1 000 alla fine di ogni anno per 14 anni. Il tasso di interesse è il 5% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €1 000i = 5%n = 14
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 17 anni. Il conto rende il 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €502,4% / 12N = 204
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 7 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 3,5%n = 7
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 3 anni e quota €940. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 3P = €940
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €44,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 3%rm = 8,5%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €17 000, €35 000, €22 000, €19 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €17 500, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 9 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 9899 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5051)/0,05 = 9,899
Valore attuale
PV = 1 000·9,899 = €9 898,64
Risposta
PV = €9 898,64
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 12580 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,0175, N = 14
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,7844)/0,0175 = €277,25
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7844 = €784,36
Prezzo
P = €1 061,61
Risposta
P = €1 061,61
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 10,43 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(10%) = €950,26, P(11%) = €926,69
YTM = 10,43%
Risposta
YTM = 10,43%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,896 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·11% + 0,4·4,5%·(1 − 0,28) = 7,896%
Risposta
WACC = 7,896%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,255 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 17 000/1,06 = 16 037,74
CF2/(1 + 0,06)2 = 35 000/1,124 = 31 149,88
CF3/(1 + 0,06)3 = 22 000/1,191 = 18 471,62
CF4/(1 + 0,06)4 = 19 000/1,262 = 15 049,78
Sommali
NPV = €5 709,02
Risposta
NPV = €5 709,02
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 5,887 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 283,45
NPV(10%) = −1 239,67
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.