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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €50 000 tra 10 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €50 0006% / 12n = 10
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 11 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €504,2% / 12N = 132
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 5,5%n = 8
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 5 anni e quota €1 045. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 5P = €1 045
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €5 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €8 000 000 e un costo del capitale proprio del 12%. Il suo debito è costituito da 4 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 12 anni alla scadenza) quotate €871 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €13 000, €13 000, €14 000, €8 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €80 000 rende €18 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €80 000CF = €18 000n = 6
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 27482 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·10 = 120
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,819 = €27 481,64
Risposta
PV = €27 481,64
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 8371 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,0275, N = 16
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,6479)/0,0275 = €512,18
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6479 = €647,87
Prezzo
P = €1 160,06
Risposta
P = €1 160,06
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,044 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 045 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 047,13, P(3%) = €1 000,00
YTM = 2,044%
Risposta
YTM = 2,044%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,421 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 13 000/1,1 = 11 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 13 000/1,21 = 10 743,80
CF3/(1 + 0,1)3 = 14 000/1,331 = 10 518,41
CF4/(1 + 0,1)4 = 8 000/1,464 = 5 464,11
Sommali
NPV = €8 544,50
Risposta
NPV = €8 544,50
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 9,312 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−6)/i = 80 000/18 000 = 4,444
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.