Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €5 000 alla fine di ogni anno per 18 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €5 000i = 8%n = 18
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €3 000 all’inizio di ogni anno per 27 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 6% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 27? Trova FV.
A = €3 000i = 6%n = 27
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 9 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 6%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 9y0 = 6%y1 = 7%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 18 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 9%) viene venduta a €1 146. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 090. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 9%P = €1 146prezzo di richiamo = €1 090richiamo tra 5 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 9,79%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €40,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 9,5%rd = 4%T = 20%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €100 000 oggi. Genera €16 500 alla fine di ogni anno per 7 anni e poi può essere venduta a €20 000. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF = €16 500S = €20 000n = 7r = 8%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €80 000 rende €20 000 alla fine di ogni anno per 9 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €80 000CF = €20 000n = 9
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 46859 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2502)/0,08 = 9,372
Valore attuale
PV = 5 000·9,372 = €46 859,44
Risposta
PV = €46 859,44
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 202584 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,06)27 − 1)/0,06 = 63,71
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 3 000·63,71·1,06 = €202 584,33
Risposta
FV = €202 584,33
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = −0,3594 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1146 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 7%: €1 146,17
y = 8%: €1 101,18
YTC = 7,004%
Risposta
YTC = 7,004%
Il rendimento a scadenza è del 7,496%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: re = 13 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Parte del debito nel WACC
0,3333·4,5%·(1 − 0,25) = 1,125%
Costo del capitale proprio
re = (9,79% − 1,125%)/0,6667 = 13%
Risposta
re = 13%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,644 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 1 000 000·€40,00 = €40 000 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 0,8·6,5% = 8,2%
Pesi
V = €45 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
WACC
WACC = 0,8889·8,2% + 0,1111·4%·(1 − 0,2) = 7,644%
Risposta
WACC = 7,644%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2425 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−9)/i = 80 000/20 000 = 4
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.