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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 4 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0002% / 12n = 4
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 500 all’inizio di ogni anno per 23 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 5% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 23? Trova FV.
A = €2 500i = 5%n = 23
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 10y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 6%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 3%n = 4YTM = 6%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €15 000 000 e un costo del capitale proprio del 14%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 6%, 7 anni alla scadenza) quotate €1 088 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €11 000, €14 000, €12 000, €12 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €6 500, €6 000, €5 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 6 000CF3 = 5 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 18464 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·4 = 48
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,083 = €18 463,56
Risposta
PV = €18 463,56
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 108755 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,05)23 − 1)/0,05 = 41,43
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 500·41,43·1,05 = €108 755,00
Risposta
FV = €108 755,00
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 8,764 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 30/1,06 = 28,30, t·PV = 28,30
t = 2: 30/1,124 = 26,70, t·PV = 53,40
t = 3: 30/1,191 = 25,19, t·PV = 75,57
t = 4: 1030/1,262 = 815,86, t·PV = 3 263,43
Duration
P = 896,05
D = 3 420,69/896,05 = 3,818
Risposta
D = 3,818 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,24 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692
WACC
WACC = 0,9231·12% + 0,07692·3%·(1 − 0,3) = 11,24%
Risposta
WACC = 11,24%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,14 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 14 000/1,254 = 11 160,71
CF3/(1 + 0,12)3 = 12 000/1,405 = 8 541,36
CF4/(1 + 0,12)4 = 12 000/1,574 = 7 626,22
Sommali
NPV = €7 149,72
Risposta
NPV = €7 149,72
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 37,63 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(35%) = 342,43
NPV(40%) = −291,55
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.