Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €2 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.

PV = €2 0004% / 4n = 10

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Risparmi €50 alla fine di ogni mese per 29 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.

A = €504,2% / 12N = 348

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 5 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5,5% al 4%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?

F = €1 000cedola = 4%n = 5y₁ = 5,5%y₂ = 4%

ΔP = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 9 anni e quota €1 140. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 7%n = 9P = €1 140

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €22,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.

β = 1,5r_f = 3%r_m = 10%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €18 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 2% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €18 000g = 2%r = 10%

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €50 000 e restituisce €37 000, €19 500, €30 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −50 000CF₁ = 37 000CF₂ = 19 500CF₃ = 30 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 2978 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·10 = 40

Valore futuro

FV = 2 000·(1 + 0,01)⁴⁰ = 2 000·1,489 = €2 977,73

Risposta

FV = €2 977,73

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 33903 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·29 = 348

Valore futuro dei versamenti

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(3,373 − 1)/0,0035 = €33 903,42

Risposta

FV = €33 903,42

Tu hai versato €17 400; il resto sono interessi.

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: ΔP = 64,05 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Prezzo al vecchio rendimento

C = €40,00, i = 0,055, N = 5

€40,00·(1 − 0,7651)/0,055 + €1 000·0,7651 = €170,81 + €765,13 = €935,95

Prezzo al nuovo rendimento

C = €40,00, i = 0,04, N = 5

€40,00·(1 − 0,8219)/0,04 + €1 000·0,8219 = €178,07 + €821,93 = €1 000,00

Variazione

ΔP = 1 000,00 − 935,95 = €64,05

Risposta

ΔP = €64,05

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 5,028 %

Equazione del rendimento

€1 140 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Risolvi numericamente

P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02

YTM = 5,028%

Risposta

YTM = 5,028%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 10,94 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

WACC

WACC = 0,8889·12% + 0,1111·3,5%·(1 − 0,3) = 10,94%

Risposta

WACC = 10,94%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 11,17 %

Valori di mercato

E = 5 000 000·€22,50 = €112 500 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,5·7% = 13,5%

Pesi

V = €151 700 000, E/V = 0,7416, D/V = 0,2584

WACC

WACC = 0,7416·13,5% + 0,2584·6%·(1 − 0,25) = 11,17%

Risposta

WACC = 11,17%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −25000 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore dei flussi di cassa

PV = 18 000/(0,1 − 0,02) = 225 000,00

NPV

NPV = 225 000,00 − 250 000 = −€25 000,00

Risposta

NPV = −€25 000,00

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 35,48 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(35%) = 300,26

NPV(40%) = −2 689,50

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 35 + 5·300,26/(300,26 − (−2 689,50)) = 35,5%

esatto: NPV(35,48%) = 0 → IRR = 35,48%

Risposta

IRR = 35,48%

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