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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 19,5%, capitalizzato trimestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 19,5%m = 4
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 9 anni. Il conto rende il 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1005,4% / 12N = 108
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 5,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 12y0 = 5,5%y1 = 5%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 3 anni e quota €975. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 3P = €975
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
E = €6 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 3%T = 20%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €42,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 2,5% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 2,5%rm = 7%rd = 5%T = 20%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €6 000, €5 000, €8 000, €9 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €40 000 rende €12 500 alla fine di ogni anno per 6 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €40 000CF = €12 500n = 6
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 20,97 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,195/4 = 0,04875
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,04875)4 − 1 = 1,21 − 1 = 20,97%
Risposta
EAR = 20,97%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 13867 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€975 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €974,23
YTM = 7,97%
Risposta
YTM = 7,97%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,455 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·8% + 0,4545·3%·(1 − 0,2) = 5,455%
Risposta
WACC = 5,455%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,083 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 6 000/1,1 = 5 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 5 000/1,21 = 4 132,23
CF3/(1 + 0,1)3 = 8 000/1,331 = 6 010,52
CF4/(1 + 0,1)4 = 9 000/1,464 = 6 147,12
Sommali
NPV = €1 744,42
Risposta
NPV = €1 744,42
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 21,57 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−6)/i = 40 000/12 500 = 3,2
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.