Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €12 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.

C₁ = €12 000g = 1,5%r = 7,5%

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Prendi in prestito €12 000 al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €250 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.

P = €12 000A = €2507,2% / 12

N = rate

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 9 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 234 quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 9P = €1 234YTM = 3%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Viene venduta a €772. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.

F = €1 000cedola = 4% (2×)n = 6P = €772

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €6 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.

E = €6 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 10%r_p = 6,5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,4 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,5. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio del 1% e il premio per il rischio di mercato del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,5T = 25%r_f = 1%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €20 000 oggi e rende €7 000, €9 000, €8 000, €7 500, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 5. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 9 000CF₃ = 8 000CF₄ = 7 500CF₅ = 7 000

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 000, €6 000, €4 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 4 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 200000 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Rendita perpetua crescente

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0,075 − 0,015) = 12 000/0,06 = €200 000,00

Risposta

PV = €200 000,00

2.Valore temporale del denaro

Risposta: N = 57 rate

Riordina la formula della rendita

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,006/250 = 0,712

Risolvi con i logaritmi

N = −ln(0,712)/ln(1,006) = 56,78

Arrotonda a rate intere

56 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.

N = 57

Risposta

N = 57 rate

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 6,005 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,03)⁻⁹ = €766,42

Cedola

C = (1234 − 766,42)/7,786 = €60,05

Tasso cedolare

c = 60,05/1000 = 6,005%

Risposta

c = 6,005%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 9,001 %

Per periodo

C = €20,00, N = 12

Risolvi numericamente

i = 4,5% per semestre

YTM

YTM = 2·4,5% = 9,001%

Risposta

YTM = 9,001%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,174 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = 6 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €9 500 000

E/V = 0,6316, P_s/V = 0,1579, D/V = 0,2105

WACC

WACC = 0,6316·10% + 0,1579·6,5% + 0,2105·5%·(1 − 0,21) = 8,174%

Risposta

WACC = 8,174%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 17,28 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,4/(1 + 0,75·0,25) = 1,179

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 1,179·(1 + 0,75·1,5) = 2,505

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1% + 2,505·6,5% = 17,28%

Risposta

r_e = 17,28%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 2,802 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 7 000/1,06 = 6 603,77 → Σ = 6 603,77

anno 2: 9 000/1,124 = 8 009,97 → Σ = 14 613,74

anno 3: 8 000/1,191 = 6 716,95 → Σ = 21 330,70

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 2 + 5 386,26/6 716,95 = 2,802

Risposta

DPB = 2,802 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,5 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 24,22 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(20%) = 648,15

NPV(25%) = −112,00

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 20 + 5·648,15/(648,15 − (−112,00)) = 24,26%

esatto: NPV(24,22%) = 0 → IRR = 24,22%

Risposta

IRR = 24,22%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation