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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €5 000 tra 4 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €5 0002% / 4n = 4

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un mutuo di €300 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 20 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 12? Trova il debito residuo B.

P = €300 0003,6% / 12N = 240k = 144

B = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Acquisti un’obbligazione con 4 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3,5%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 4,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.

F = €1 000cedola = 4%n = 4y₀ = 3,5%y₁ = 4,5%

HPR = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 5 anni e quota €935. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 3%n = 5P = €935

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,5. Il suo costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.

D/E = 0,5r_e = 11%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €30,50 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.

β = 1,1r_f = 3,5%r_m = 8,5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €40 000 oggi e rende €16 500, €15 000, €11 500, €10 500 alla fine degli anni da 1 a 4. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 16 500CF₂ = 15 000CF₃ = 11 500CF₄ = 10 500

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €25 000 e restituisce €14 500, €18 000, €16 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 18 000CF₃ = 16 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 4617 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·4 = 16

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,083 = €4 616,50

Risposta

PV = €4 616,50

2.Valore temporale del denaro

Risposta: B = 146228 €

Rata mensile

i = 0,003, N = 240

A = 300 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻²⁴⁰) = €1 755,33

Valore attuale delle rate rimanenti

Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.

N − k = 240 − 144 = 96

B = 1755·(1 − (1 + 0,003)⁻⁹⁶)/0,003 = €146 228,18

Risposta

B = €146 228,18

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: HPR = 0,7747 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Prezzo di acquisto

C = €40,00, i = 0,035, N = 4

€40,00·(1 − 0,8714)/0,035 + €1 000·0,8714 = €146,92 + €871,44 = €1 018,37

Prezzo di vendita

C = €40,00, i = 0,045, N = 3

€40,00·(1 − 0,8763)/0,045 + €1 000·0,8763 = €109,96 + €876,30 = €986,26

Rendimento del periodo di detenzione

HPR = (40 + 986,26 − 1 018,37)/1 018,37 = 0,7747%

Risposta

HPR = 0,7747%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 4,48 %

Equazione del rendimento

€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Risolvi numericamente

P(4%) = €955,48, P(5%) = €913,41

YTM = 4,48%

Risposta

YTM = 4,48%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,933 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi da D/E

E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667

D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·11% + 0,3333·6%·(1 − 0,2) = 8,933%

Risposta

WACC = 8,933%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,044 %

Valori di mercato

E = 1 000 000·€30,50 = €30 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,1·5% = 9%

Pesi

V = €50 100 000, E/V = 0,6088, D/V = 0,3912

WACC

WACC = 0,6088·9% + 0,3912·5%·(1 − 0,2) = 7,044%

Risposta

WACC = 7,044%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 3,553 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 16 500/1,1 = 15 000,00 → Σ = 15 000,00

anno 2: 15 000/1,21 = 12 396,69 → Σ = 27 396,69

anno 3: 11 500/1,331 = 8 640,12 → Σ = 36 036,81

anno 4: 10 500/1,464 = 7 171,64 → Σ = 43 208,46

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 3 + 3 963,19/7 171,64 = 3,553

Risposta

DPB = 3,553 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,739 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 41,69 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(40%) = 553,94

NPV(45%) = −1 026,49

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 40 + 5·553,94/(553,94 − (−1 026,49)) = 41,75%

esatto: NPV(41,69%) = 0 → IRR = 41,69%

Risposta

IRR = 41,69%

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