Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €5 000 a un tasso nominale del 4,8 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 4 anni.

PV = €5 0004,8% / 4n = 4

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Vuoi avere €50 000 tra 15 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.

FV = €50 0003,6% / 12N = 180

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 5%YTM = 6%n = 11

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 6 anni e quota €910. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 6%n = 6P = €910

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,75. Il suo costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.

D/E = 0,75r_e = 10%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €59,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.

β = 0,6r_f = 3,5%r_m = 7,5%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €25 000, €23 000, €15 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 25 000CF₂ = 23 000CF₃ = 15 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €200 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €27 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 8. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €27 500g = 5%n = 8r = 8%

NPV = €

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 6051 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·4 = 16

Valore futuro

FV = 5 000·(1 + 0,012)¹⁶ = 5 000·1,21 = €6 051,43

Risposta

FV = €6 051,43

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 209,9 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·15 = 180

Versamento

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,003/(1,715 − 1) = €209,90

Risposta

A = €209,90

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 920,3 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €25,00, i = 0,03, N = 22

Valore attuale delle cedole

€25,00·(1 − 0,5219)/0,03 = €398,42

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,5219 = €521,89

Prezzo

P = €920,32

Risposta

P = €920,32

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 7,944 %

Equazione del rendimento

€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Risolvi numericamente

P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54

YTM = 7,944%

Risposta

YTM = 7,944%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,321 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi da D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·10% + 0,4286·5%·(1 − 0,25) = 7,321%

Risposta

WACC = 7,321%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 5,745 %

Valori di mercato

E = 2 000 000·€59,00 = €118 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,6·4% = 5,9%

Pesi

V = €123 250 000, E/V = 0,9574, D/V = 0,0426

WACC

WACC = 0,9574·5,9% + 0,0426·3%·(1 − 0,25) = 5,745%

Risposta

WACC = 5,745%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −20226 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 25 000/1,08 = 23 148,15

CF₂/(1 + 0,08)² = 23 000/1,166 = 19 718,79

CF₃/(1 + 0,08)³ = 15 000/1,26 = 11 907,48

Sommali

NPV = €−20 225,58

Risposta

NPV = €−20 225,58

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: NPV = −15038 €

Valore attuale della rendita crescente

((1,05)/(1,08))⁸ = 0,7982

PV = 27 500/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,7982) = 184 962,06

NPV

NPV = 184 962,06 − 200 000 = −€15 037,94

Risposta

NPV = −€15 037,94

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

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