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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 3 anni. Un conto rende il 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0002% / 12n = 3
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €30 000 tra 5 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €30 0003% / 12N = 60
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 3,5%n = 11
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 4%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 6%n = 4YTM = 4%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €5 000 000. Il suo WACC è del 8,91%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il costo del capitale proprio re.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 0,9 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,2. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,25. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio del 4% e il premio per il rischio di mercato del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €8 000, €6 000, €5 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e rende €28 000, €22 500, €17 000 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 12%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·3 = 36
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,062 = €18 836,23
Risposta
PV = €18 836,23
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 464,1 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,0175, N = 22
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,6827)/0,0175 = €181,30
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6827 = €682,72
Prezzo
P = €864,02
Risposta
P = €864,02
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 3,685 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 60/1,04 = 57,69, t·PV = 57,69
t = 2: 60/1,082 = 55,47, t·PV = 110,95
t = 3: 60/1,125 = 53,34, t·PV = 160,02
t = 4: 1060/1,17 = 906,09, t·PV = 3 624,37
Duration
P = 1 072,60
D = 3 953,03/1 072,60 = 3,685
Risposta
D = 3,685 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: re = 11 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Parte del debito nel WACC
0,3333·6%·(1 − 0,21) = 1,58%
Costo del capitale proprio
re = (8,91% − 1,58%)/0,6667 = 11%
Risposta
re = 11%
6.CAPM e WACC
Risposta: re = 13,82 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 0,9/(1 + 0,742·0,2) = 0,7837
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 0,7837·(1 + 0,742·1,25) = 1,511
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 1,511·6,5% = 13,82%
Risposta
re = 13,82%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −3201 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 8 000/1,07 = 7 476,64
CF2/(1 + 0,07)2 = 6 000/1,145 = 5 240,63
CF3/(1 + 0,07)3 = 5 000/1,225 = 4 081,49
Sommali
NPV = €−3 201,24
Risposta
NPV = €−3 201,24
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 15,64 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.