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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €10 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 5 anni.
PV = €10 000r = 8%t = 5
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €150 alla fine di ogni mese per 27 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1503,6% / 12N = 324
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 3,5%n = 4
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 6%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 3%n = 3YTM = 6%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1. Il suo costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
D/E = 1re = 9%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,7. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,4. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio è del 3% e il premio per il rischio di mercato è del 4%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,7D/E = 0,4T = 20%rf = 3%rm − rf = 4%
re = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi. Genera €20 000 alla fine di ogni anno per 3 anni e poi può essere venduta a €15 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €60 000CF = €20 000S = €15 000n = 3r = 12%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €27 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 2% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 4. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €27 500g = 2%n = 4r = 12%
NPV = €
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 14918 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,08·5 = 0,4
e0,4 = 1,492
Valore futuro
FV = 10 000·1,492 = €14 918,25
Risposta
FV = €14 918,25
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 81969 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,0175, N = 8
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €148,10
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8704 = €870,41
Prezzo
P = €1 018,51
Risposta
P = €1 018,51
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 2,909 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 30/1,06 = 28,30, t·PV = 28,30
t = 2: 30/1,124 = 26,70, t·PV = 53,40
t = 3: 1030/1,191 = 864,81, t·PV = 2 594,42
Duration
P = 919,81
D = 2 676,13/919,81 = 2,909
Risposta
D = 2,909 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,075 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·4,5%·(1 − 0,3) = 6,075%
Risposta
WACC = 6,075%
6.CAPM e WACC
Risposta: re = 6,696 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,7·(1 + 0,8·0,4) = 0,924
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 0,924·4% = 6,696%
Risposta
re = 6,696%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −1287 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.