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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 2 anni.
PV = €20 0004% / 12n = 2
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €250 alla fine di ogni mese per 19 anni. Il conto rende il 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2507,2% / 12N = 228
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 14 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3% al 2,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 8%n = 14y1 = 3%y2 = 2,5%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 7 anni e quota €920. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 7P = €920
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,7. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio è del 4% e il premio per il rischio di mercato è del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,7D/E = 0,25T = 25%rf = 4%rm − rf = 6,5%
re = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €40 000 oggi e rende €16 500, €10 000, €9 000, €10 000, €16 500 alla fine degli anni da 1 a 5. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Un investimento di €25 000 rende €4 500 alla fine di ogni anno per 6 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €25 000CF = €4 500n = 6
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 21663 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€920 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(7%) = €946,11, P(8%) = €895,87
YTM = 7,511%
Risposta
YTM = 7,511%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,583 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·5%·(1 − 0,25) = 6,583%
Risposta
WACC = 6,583%
6.CAPM e WACC
Risposta: re = 9,403 %
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,7·(1 + 0,75·0,25) = 0,8312
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 4% + 0,8312·6,5% = 9,403%
Risposta
re = 9,403%
7.VAN e TIR
Risposta: DPB = 4,307 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 16 500/1,1 = 15 000,00 → Σ = 15 000,00
anno 2: 10 000/1,21 = 8 264,46 → Σ = 23 264,46
anno 3: 9 000/1,331 = 6 761,83 → Σ = 30 026,30
anno 4: 10 000/1,464 = 6 830,13 → Σ = 36 856,43
anno 5: 16 500/1,611 = 10 245,20 → Σ = 47 101,63
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 3 143,57/10 245,20 = 4,307
Risposta
DPB = 4,307 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,45 anni).
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 2,244 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−6)/i = 25 000/4 500 = 5,556
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.