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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 3,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €50 000 tra 14 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €50 0006% / 12N = 168
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 10 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 8% al 9%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4%n = 10y1 = 8%y2 = 9%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 4 anni e quota €935. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 4P = €935
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
E = €8 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 7%T = 28%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €21,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.
β = 1,8rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €21 000, €25 000, €18 000, €23 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €31 500, €33 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 31 500CF2 = 33 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 400000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76
YTM = 7,961%
Risposta
YTM = 7,961%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,68 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·9% + 0,3333·7%·(1 − 0,28) = 7,68%
Risposta
WACC = 7,68%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,41 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 21 000/1,1 = 19 090,91
CF2/(1 + 0,1)2 = 25 000/1,21 = 20 661,16
CF3/(1 + 0,1)3 = 18 000/1,331 = 13 523,67
CF4/(1 + 0,1)4 = 23 000/1,464 = 15 709,31
Sommali
NPV = €−6 014,96
Risposta
NPV = €−6 014,96
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 19,21 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 2 722,12
NPV(20%) = −486,11
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.