Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Una rendita paga €500 alla fine di ogni anno per 17 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.

A = €500i = 8%n = 17

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €150 0005,4% / 12N = 360

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 12 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 498 quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 12P = €1 498YTM = 3%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 166. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.

F = €1 000cedola = 7%P = €1 166prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 3 anni

YTC = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 6,19%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il costo del capitale proprio r_e.

E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 6,19%r_d = 4,5%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €28,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 9,5%. Trova il WACC.

β = 1,5r_f = 3,5%r_m = 9,5%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €30 000, €26 000, €28 000, €23 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 30 000CF₂ = 26 000CF₃ = 28 000CF₄ = 23 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un investimento di €50 000 rende €11 000 alla fine di ogni anno per 7 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

C₀ = €50 000CF = €11 000n = 7

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 4561 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Fattore di rendita

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2703)/0,08 = 9,122

Valore attuale

PV = 500·9,122 = €4 560,82

Risposta

PV = €4 560,82

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 842,3 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·30 = 360

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,1986

A = 150 000·0,0045/(1 − 0,1986) = €842,30

Risposta

A = €842,30

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 8,003 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,03)⁻¹² = €701,38

Cedola

C = (1498 − 701,38)/9,954 = €80,03

Tasso cedolare

c = 80,03/1000 = 8,003%

Risposta

c = 8,003%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTC = 3,349 %

Equazione del rendimento

1166 = 70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1070/(1 + y)³

Risolvi numericamente

y = 3%: €1 177,20

y = 4%: €1 145,48

YTC = 3,349%

Risposta

YTC = 3,349%

Il rendimento a scadenza è del 5,001%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.

5.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 9,991 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714

Parte del debito nel WACC

0,5714·4,5%·(1 − 0,258) = 1,908%

Costo del capitale proprio

r_e = (6,19% − 1,908%)/0,4286 = 9,991%

Risposta

r_e = 9,991%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 11,84 %

Valori di mercato

E = 2 000 000·€28,50 = €57 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,5·6% = 12,5%

Pesi

V = €61 900 000, E/V = 0,9208, D/V = 0,07916

WACC

WACC = 0,9208·12,5% + 0,07916·6%·(1 − 0,3) = 11,84%

Risposta

WACC = 11,84%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = 29202 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 30 000/1,08 = 27 777,78

CF₂/(1 + 0,08)² = 26 000/1,166 = 22 290,81

CF₃/(1 + 0,08)³ = 28 000/1,26 = 22 227,30

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 23 000/1,36 = 16 905,69

Sommali

NPV = €29 201,58

Risposta

NPV = €29 201,58

Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 12,13 %

Fattore di rendita richiesto

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 50 000/11 000 = 4,545

Ricava il tasso

Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.

i = 12%: 4,564

i = 13%: 4,423

IRR = 12,13%

Risposta

IRR = 12,13%

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