Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di rame, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 120 MPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 100 mm, diametro interno 70 mm, E = 100 GPa, tensione ammissibile 70 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 250 N·md = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 75 kW a 1000 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 100 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 6 m15 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x₀ da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.

L = 4 mw = 20 kN/m da 0 a 2 m

x₀ = m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 240 mm e spesse 12 mm, un’altezza complessiva di 340 mm e un’anima spessa 6 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 240 mmH = 340 mmt_f = 12 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 275 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di von Mises (energia di distorsione).

σ_x = 100 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 0,5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 23 kNa = 0,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 957,7 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490,9 = 112 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 112/117000 = 0,0009577 = 957,7 µε

Risposta

ε = 957,7 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 391,1 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6,519 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,0006, 0,0007) = 0,0006 (acciaio)

Carico massimo

P_max = 0,0006·6,519 × 10⁸ = 391128 N = 391,1 kN

Risposta

P_max = 391,1 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 20,78 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·79522) = 0,3627 rad

φ = 0,3627·180/π = 20,78°

Risposta

φ = 20,78°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 4,191 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8,545 × 10⁶ mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·50/8,545 × 10⁶ = 4,191 MPa

Risposta

τ_max = 4,191 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 40 kN, R₂ = 30 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 80, M_C = 130, M_D = 180 kN·m, M_E = 120, M_F = 60, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 180 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: x₀ = 1,5 m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, applicata in x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2·1

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 10 = 30 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 30/20 = 1,5 m

Risposta

x₀ = 1,5 m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 170,8 × 10⁶ mm⁴

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 340 − 2·12 = 316 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·340³ − 234·316³)/12

I_x = 1,708 × 10⁸ mm⁴ = 170,8 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 170,8 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 310,8 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

anima: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·205 + 2800·100)/5400 = 150,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 260·10³/12 + 2600·(205 − 150,6)² = 7,729 × 10⁶ mm⁴

anima: 14·200³/12 + 2800·(100 − 150,6)² = 1,649 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,729 × 10⁶ + 1,649 × 10⁷ = 2,422 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 150,6 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·150,6/2,422 × 10⁷ = 310,8 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 310,8 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 36,06 MPa

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−10 − −50)/2)² + −30²) = 36,06 MPa

Risposta

τ_max = 36,06 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 2,394

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 60 MPa, R = 56,57 MPa

σ₁ = 116,6 MPa, σ₂ = 3,431 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(116,6² − 116,6·3,431 + 3,431²) = 114,9 MPa

n = 275/114,9 = 2,394

Risposta

n = 2,394

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 2,852 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, a = 500 mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,163 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0004889 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,852 mm

Risposta

δ_B = 2,852 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 436,4 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·8000⁴/(384·11000·22,22) = 4,364 × 10⁸ mm⁴

I_req = 436,4 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 436,4 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 6,016 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1750² = 6016 N = 6,016 kN

Risposta

P_cr = 6,016 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 34,27 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Risposta

σ_cr = 34,27 MPa

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