Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di ottone (diametro 50 mm, lunghezza 500 mm, E = 100 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,5 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 45 kNtratto 1: Ø30 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, rame (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 50 kW a 1800 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 5 kN/m da 0 a 5 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

25 kN @ 0 m45 kN @ 6 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 140 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 35 MPa a trazione e 90 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo M_allow che la trave può sopportare.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = −20 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = −80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 20 mm porta una forza assiale di compressione di 20 kN insieme a un momento torcente di 100 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 20 mmF = −20 kNT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 28 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 75,52 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,5/6,621 × 10⁻⁶ = 75519 N = 75,52 kN

Risposta

P = 75,52 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,043 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·2000/70000 = 1,819 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·1000/117000 = 1,224 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,043 mm

Risposta

δ = 3,043 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,9353 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·251327) = 0,01632 rad

φ = 0,01632·180/π = 0,9353°

Risposta

φ = 0,9353°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 18,31 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·25/362265 = 18,31 MPa

Risposta

τ_max = 18,31 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = 10 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 12,5 − 5·0,5 = 10 kN

Risposta

V_x = 10 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 21,33 kN, R₂ = 84,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −34,67, M_D = −56,33, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −90 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (20000·100 − 1257·140)/(20000 − 1257) = 97,32 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·200³/12 + 20000·2,682² = 66,81 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·42,68² = 2,415 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 6,988 kN·m

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Baricentro

ȳ = (6000·255 + 2400·120)/8400 = 216,4 mm

bordo superiore: c = 270 − 216,4 = 53,57 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 200·30³/12 + 6000·38,57² + 10·240³/12 + 2400·96,43² = 4,321 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento positivo: la parte superiore è compressa, quella inferiore tesa.

bordo superiore: M = 90·4,321 × 10⁷/53,57 = 72,6 kN·m

bordo inferiore: M = 35·4,321 × 10⁷/216,4 = 6,988 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 6,988 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 6,988 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 45 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = −65 MPa, R = √((−15)² + (−20)²) = 25 MPa

σ₁ = −40 MPa, σ₂ = −90 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(50, 40, 90)/2 = 45 MPa

Risposta

τ_abs = 45 MPa

Qui governa il cerchio fuori dal piano: il massimo assoluto è maggiore del massimo nel piano R.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 39,35 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = −20000/(π·20²/4) = −20000/314,2 = −63,66 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = −31,83 MPa

R = √((−31,83)² + 63,66²) = 71,18 MPa

σ₁ = C + R = 39,35 MPa

σ₂ = C − R = −103 MPa

Risposta

σ₁ = 39,35 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 38,75 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 38,75 mm

Risposta

δ = 38,75 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 39,75 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 28000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·4000³/(48·1,61 × 10¹²) = 23,19 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 16,56 mm

Sommale

δ_max = 23,19 + 16,56 = 39,75 mm

Risposta

δ_max = 39,75 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 10,07 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/4200² = 10071 N = 10,07 kN

Risposta

P_cr = 10,07 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 25,18 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/6,25 = 280

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Risposta

σ_cr = 25,18 MPa

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