Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 300 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 30 mm, lunghezza 200 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,4 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 160 MPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 80 mm, diametro interno 50 mm, E = 100 GPa, tensione ammissibile 70 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 12 mm viene torto da un momento torcente di 100 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 200 mm ruotano di 14,43° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 100 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 14,43°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio di diametro 25 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 250 N·m agisce in B, a 3 m da A, e un momento torcente di 250 N·m nello stesso verso agisce all’estremo libero C, 2,5 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 25 mmT_B = 250 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mw = 3 kN/m da 0 a 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 45 kN in 7 mw = 12 kN/m da 0 a 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 160 mm e spesse 16 mm, un’altezza complessiva di 400 mm e un’anima spessa 8 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 160 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 25 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmM = 25 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 350 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di von Mises (energia di distorsione).

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati uguali P nei terzi della luce (a L/3 da ciascun appoggio). Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 7 kNL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 56,08 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706,9) = 2,358 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,4/7,132 × 10⁻⁶ = 56081 N = 56,08 kN

Risposta

P = 56,08 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 313,4 kN

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·3063 = 4,477 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,0008, 0,0007) = 0,0007 (ottone)

Carico massimo

P_max = 0,0007·4,477 × 10⁸ = 313374 N = 313,4 kN

Risposta

P_max = 313,4 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 39,01 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 14,43·π/180 = 0,2519 rad

Modulo di taglio

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(2036·0,2519) = 39009 MPa

G = 39,01 GPa

Risposta

G = 39,01 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 163 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 250 = 500 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Risposta

τ_max = 163 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 23,63 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 12·3,5 − 3·3,5·1,75 = 23,63 kN·m

Risposta

M_x = 23,63 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 118,1 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·7 + 12·8·4

R_B = 699/8 = 87,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 141 − 87,38 = 53,63 kN

Taglia in x = 5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 53,63·5 − 12·5·2,5 = 118,1 kN·m

Risposta

M_x = 118,1 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 222,1 × 10⁶ mm⁴

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·400³ − 152·368³)/12

I_x = 2,221 × 10⁸ mm⁴ = 222,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 222,1 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 51,19 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

anima: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·235 + 2200·110)/5800 = 187,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·30³/12 + 3600·(235 − 187,6)² = 8,363 × 10⁶ mm⁴

anima: 10·220³/12 + 2200·(110 − 187,6)² = 2,212 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,363 × 10⁶ + 2,212 × 10⁷ = 3,048 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 250 − 187,6 = 62,41 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·62,41/3,048 × 10⁷ = 51,19 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 51,19 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 82,01 MPa

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−20 − 110)/2)² + −50²) = 82,01 MPa

Risposta

τ_max = 82,01 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 1,779

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 60 MPa, R = 108,2 MPa

σ₁ = 168,2 MPa, σ₂ = −48,17 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(168,2² − 168,2·(−48,17) + (−48,17)²) = 196,7 MPa

n = 350/196,7 = 1,779

Risposta

n = 1,779

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 19,38 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 19,38 mm

Risposta

δ = 19,38 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 17,67 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, L = 8000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Un carico a L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 8,834 mm

Somma entrambi i carichi

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 17,67 mm

Risposta

δ_max = 17,67 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 112,8 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1050² = 112795 N = 112,8 kN

Risposta

P_cr = 112,8 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 6,747 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Risposta

σ_cr = 6,747 MPa

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