Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 100 mm, diametro interno 70 mm, E = 110 GPa). Entrambi sono lunghi 500 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 80 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 80 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 30 kNtratto 1: Ø30 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in acciaio è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 50 mm e lunghezza 2 m; il tratto BC ha diametro 20 mm e lunghezza 1,5 m. Un momento torcente di 250 N·m agisce all’estremo libero C. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,5 m

τ_max = MPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 10 kW a 300 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 60 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 0,5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 2,5 mP = 65 kN in 0,5 mw = 10 kN/m da 0 a 2,5 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 60 kN in 4 mw = 8 kN/m da 0 a 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 240 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 168 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 150 mm e spesse 12 mm, un’altezza complessiva di 420 mm e un’anima spessa 8 mm. Porta un momento flettente di 100 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 150 mmH = 420 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 60 MPa e σᵧ = −40 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 95 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 20 mm porta un momento flettente di 100 N·m insieme a un momento torcente di 400 N·m. Sulla superficie superiore, dove la tensione di flessione è di trazione e massima, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 20 mmM = 100 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θ_A della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,06873 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·4006 = 5,82 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 80000·500/5,82 × 10⁸ = 0,06873 mm

Risposta

δ = 0,06873 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 265,3 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 265,3 MPa

Risposta

σ_max = 265,3 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 159,2 MPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Tensione in ciascun tratto

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Risposta

τ_max = 159,2 MPa

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 30,01 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30,01 mm

Risposta

d = 30,01 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −63,75 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −65·0,5 = −32,5 kN·m

w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

M_A = −32,5 − 31,25 = −63,75 kN·m

Risposta

M_A = −63,75 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 64 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·4 + 8·5·2,5

R_B = 340/5 = 68 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 68 = 32 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 32·4 − 8·4·2 = 64 kN·m

Risposta

M_x = 64 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (48000·120 − 1257·168)/(48000 − 1257) = 118,7 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·240³/12 + 48000·1,29² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49,29² = 3,179 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 103,5 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 420 − 2·12 = 396 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·420³ − 142·396³)/12

I_x = 1,913 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 210 − 12 = 198 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·198/1,913 × 10⁸ = 103,5 MPa

Risposta

σ_j = 103,5 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 68,74 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (60 + (−40))/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 95 − 10 = 85 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 50²) = 68,74 MPa

Risposta

τ_xy = 68,74 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 326,1 MPa

Tensioni in superficie

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·20³) = 127,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 63,66 MPa

R = √(63,66² + 254,6²) = 262,5 MPa

σ₁ = C + R = 326,1 MPa

σ₂ = C − R = −198,8 MPa

Risposta

σ₁ = 326,1 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: θ_A = 0,002214 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Rotazione all’estremo

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,002214 rad

Risposta

θ_A = 0,002214 rad

Cioè 0,1269°.

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 96 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·8000⁴/(384·200000·22,22) = 9,6 × 10⁷ mm⁴

I_req = 96 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 96 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 49,35 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3000² = 49348 N = 49,35 kN

Risposta

P_cr = 49,35 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 12,34 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Risposta

σ_cr = 12,34 MPa

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