Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 120 mm, diametro interno 50 mm, E = 110 GPa). Entrambi sono lunghi 400 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 100 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 100 kNasta: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 20 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 150 MPa) sta dentro un tubo di alluminio (diametro esterno 120 mm, diametro interno 60 mm, E = 70 GPa, tensione ammissibile 50 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in ottone è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 60 mm e lunghezza 0,8 m; il tratto BC ha diametro 50 mm e lunghezza 1,2 m. Un momento torcente di 250 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 50 mm, L₂ = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 10 kW a 1500 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 10 kN/m da 0 a 4 mx = 3 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mP = 25 kN in 8 mw = 6 kN/m da 0 a 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 300 mm ha un foro circolare di diametro 30 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 120 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro del foro: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 5 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 5 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 120 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −30 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 50° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 12 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 125 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/360. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 125 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,03126 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Accorciamento

δ = 100000·400/1,279 × 10⁹ = 0,03126 mm

Risposta

δ = 0,03126 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 469 kN

Aree

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·8482 = 6,566 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,00075, 0,0007143) = 0,0007143 (alluminio)

Carico massimo

P_max = 0,0007143·6,566 × 10⁸ = 468995 N = 469 kN

Risposta

P_max = 469 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 0,9492 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 250000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,004031 rad

φ_BC = 250000·1200/(39000·613592) = 0,01254 rad

Torsione totale

φ_C = 0,004031 + 0,01254 = 0,01657 rad = 0,9492°

Risposta

φ_C = 0,9492°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 15,94 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm

Risposta

d = 15,94 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −10 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 20 − 10·3 = −10 kN

Risposta

V_x = −10 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 78 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·8 + 6·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 50 = 35 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 35·3 − 6·3·1,5 = 78 kN·m

Risposta

M_x = 78 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 449,3 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (60000·150 − 706,9·120)/(60000 − 706,9) = 150,4 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,3576² = 450 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−30,36² = 0,6912 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 449,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 449,3 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 60,64 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

anima: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·105 + 1600·50)/2600 = 71,15 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·10³/12 + 1000·(105 − 71,15)² = 1,154 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·100³/12 + 1600·(50 − 71,15)² = 2,049 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,154 × 10⁶ + 2,049 × 10⁶ = 3,203 × 10⁶ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 110 − 71,15 = 38,85 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·38,85/3,203 × 10⁶ = 60,64 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 60,64 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 85,44 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((120 − −40)/2)² + 30²) = 85,44 MPa

Risposta

τ_max = 85,44 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 17,15 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −15 + −15·−0,1736 + 30·0,9848 = 17,15 MPa

Risposta

σ_θ = 17,15 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 3,011 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 12000·2500³/(3·2,4 × 10¹³) = 2,604 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 0,4069 mm

Sommale

δ = 2,604 + 0,4069 = 3,011 mm

Risposta

δ = 3,011 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 163,7 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·4,568 × 10⁷/125)^1/3 = 163,7 mm

Risposta

h_req = 163,7 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 12,56 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN

Risposta

P_cr = 12,56 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 19,28 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Risposta

σ_cr = 19,28 MPa

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