Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 55 kNtratto 1: Ø30 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 60 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 250 N·m agisce in B, a 2,5 m da A, e un momento torcente di 1500 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 0,5 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 1500 N·mAB = 2,5 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

10 kN @ 4 m60 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

50 kN @ 0 m30 kN @ 6 m25 kN @ 3 m10 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 150 mm ha un foro circolare di diametro 60 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 60 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro del foro: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 150 mm ha un intaglio rettangolare largo 80 mm e alto 40 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 97,5 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 150 mmintaglio: 80 × 40 mmcentro del foro: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 120 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 350 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di Tresca (massima tensione tangenziale).

σ_x = 100 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 2 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 29 kNa = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 14 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 707,4 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/70000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Risposta

ε = 707,4 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,404 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,81·1000/100000 = 0,7781 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·1500/100000 = 2,626 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,404 mm

Risposta

δ = 3,404 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 17,54 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(39000·251327) = 0,3061 rad

φ = 0,3061·180/π = 17,54°

Risposta

φ = 17,54°

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 4,474 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 250 = 1250 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,25 × 10⁶·2500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,06298 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01511 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = 0,06298 + 0,01511 = 0,07809 rad → |φ_C| = 4,474°

Risposta

φ_C = 4,474°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 26,67 kN, R₂ = 43,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 53,33, M_C = 106,7, M_D = 140, M_E = 173,3 kN·m, M_F = 86,67, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = 173,3 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 1 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 87,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −17,5, M_D = 5, M_E = −7,5, M_F = −30, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −50 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 26,7 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (15000·75 − 2827·60)/(15000 − 2827) = 78,48 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·150³/12 + 15000·−3,484² = 28,31 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−18,48² = 1,602 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 26,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 26,7 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 31,35 × 10⁶ mm⁴

Baricentro

ȳ = (18000·75 − 3200·97,5)/(18000 − 3200) = 70,14 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·150³/12 + 18000·4,865² = 34,18 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

80·40³/12 + 3200·27,36² = 2,823 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 31,35 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 31,35 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = −63,43 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = −60/100 = −0,6, sin 2θ_s = −80/100 = −0,8

2θ_s = atan2(−80, −60) = −126,9°

Angolo sull’elemento

θ_s = −63,43°

verifica: θ_s − θ_p = −63,43 − (−18,43) = −45°

Risposta

θ_s = −63,43°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 2,166

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 25 MPa, R = 80,78 MPa

σ₁ = 105,8 MPa, σ₂ = −55,78 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 161,6 MPa

n = 350/161,6 = 2,166

Risposta

n = 2,166

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 29,59 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, a = 2000 mm, b = 6000 mm, L = 8000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 29000·2000²·6000²/(3·5,88 × 10¹²·8000) = 29,59 mm

Risposta

δ_P = 29,59 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,636 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 14000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·1500³/(48·9,24 × 10¹¹) = 1,065 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 0,5707 mm

Sommale

δ_max = 1,065 + 0,5707 = 1,636 mm

Risposta

δ_max = 1,636 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 8,594 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3500² = 8594 N = 8,594 kN

Risposta

P_cr = 8,594 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 9,064 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/7,5 = 466,7

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/466,7² = 9,064 MPa

Risposta

σ_cr = 9,064 MPa

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