Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 60 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 200 MPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 120 mm, diametro interno 50 mm, E = 110 GPa, tensione ammissibile 60 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 500 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone trasmette 20 kW a 750 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 40 MPa e la torsione non deve superare 0,5° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 4 mP₁ = 65 kN in 1 mP₂ = 40 kN in 1,5 m

M_max = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 6 m35 kN @ 3 m8 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 160 mm con due ali verticali, alta 100 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 20 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 160 mmh = 100 mmt = 20 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 156 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 240 mmintaglio: 50 × 30 mmcentro del foro: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −20 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 45° in senso orario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = −20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 400 mm e spessore di parete di 10 mm contiene gas a una pressione relativa di 2 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 20° rispetto all’asse del cilindro. Trova il modulo della tensione tangenziale |τ_n| che agisce lungo la cordatura di saldatura.

D = 400 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1,5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 28 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (alluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione R_B al puntello.

L = 6 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 10 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 10 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 11,46 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 763,9/100000 = 0,007639 = 7639 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,007639·1500 mm = 11,46 mm

Risposta

δ = 11,46 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 697,9 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Deformazione governante

ε = min(0,001, 0,0005455) = 0,0005455 (bronzo)

Carico massimo

P_max = 0,0005455·1,279 × 10⁹ = 697862 N = 697,9 kN

Risposta

P_max = 697,9 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 23,34 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·38350) = 0,4074 rad

φ = 0,4074·180/π = 23,34°

Risposta

φ = 23,34°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 52,54 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Diametro per la resistenza

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

d_τ = ∛(16·254648/(π·40)) = 31,89 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·254648/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 52,54 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(31,89, 52,54) = 52,54 mm

Risposta

d = 52,54 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 78,13 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·1 + 40·1,5

R_B = 125/4 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 31,25 = 73,75 kN

Momento sotto ciascun carico

Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.

sotto P₁: M = R_A·1 = 73,75·1 = 73,75 kN·m

sotto P₂: M = R_B·2,5 = 31,25·2,5 = 78,13 kN·m

Valore massimo

M_max = 78,13 kN·m (sotto P₂)

Risposta

M_max = 78,13 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 5 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 23 kN, R₂ = 107 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 19, M_C = 30, M_D = 33, M_E = −7, M_F = −55 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = −55 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 35 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 160·20 = 3200 mm², y₁ = 10 mm

due ali: A₂ = 2·20·80 = 3200 mm², y₂ = 20 + 80/2 = 60 mm

Baricentro

ȳ = (3200·10 + 3200·60)/6400 = 35 mm

Risposta

ȳ = 35 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (28800·120 − 1500·156)/(28800 − 1500) = 118 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·240³/12 + 28800·1,978² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

50·30³/12 + 1500·37,98² = 2,276 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 136,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 100 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 40 − (−60)·0 − 60·(−1) = 100 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = −20 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 100 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: |τ_n| = 6,428 MPa

Tensioni nella parete

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2·200/10 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

|τ_n| = (40 − 20)·sin 20°·cos 20° = 6,428 MPa

Risposta

|τ_n| = 6,428 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 29,35 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 28000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 19,57 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01957 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 29,35 mm

Risposta

δ_B = 29,35 mm

12.Freccia della trave

Risposta: R_B = 13,5 kN

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·6/8 = 13,5 kN

Risposta

R_B = 13,5 kN

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 110,2 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/700² = 110152 N = 110,2 kN

Risposta

P_cr = 110,2 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 48 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 48 mm

Risposta

d = 48 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 250, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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