Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di rame sotto il carico assiale.

P = 35 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 30 kNtratto 1: Ø25 mm, 2 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, acciaio (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 250 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 50 kW a 750 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 10 kN·m in x = 5 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mM₀ = 10 kN·m orario, in 5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova la distanza x_c da A al punto di flesso tra gli appoggi (dove il momento flettente cambia segno).

L = 8 mw = 5 kN/m da 0 a 8 mappoggi in x = 0 e x = 6 m

x_c = m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione rettangolare cava (scatolare) ha larghezza esterna B = 200 mm, altezza esterna H = 300 mm e spessore di parete uniforme t = 12 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

B = 200 mmH = 300 mmt = 12 mm

r = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 120 × 24 mm, un’anima alta 380 mm e spessa 8 mm, e un’ala inferiore 270 × 12 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 120 × 24 mmanima: 8 × 380 mmala inferiore: 270 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 40° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 30 mm porta una forza assiale di trazione di 30 kN insieme a un momento torcente di 750 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione tangenziale massima nel piano τ_max.

d = 30 mmF = 30 kNT = 750 N·m

τ_max = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,232 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/117000 = 0,001488 = 1488 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,001488·1500 mm = 2,232 mm

Risposta

δ = 2,232 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 95,49 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 61,12 MPa

σ₂ = 95,49 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 95,49 MPa

Risposta

σ_max = 95,49 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 3,653 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·251327) = 0,06376 rad

φ = 0,06376·180/π = 3,653°

Risposta

φ = 3,653°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 58,2 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·20/218755 = 58,2 MPa

Risposta

τ_max = 58,2 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/10 = 1 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −1 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a destra della coppia

Ora la parte sinistra contiene R_A e la coppia.

M_x = R_A·a + M₀ = −1·5 + 10 = 5 kN·m

Risposta

M_x = 5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: x_c = 5,333 m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·8·4

R_B = 160/6 = 26,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26,67 = 13,33 kN

Momento nullo

Tra gli appoggi M(x) = R_A·x − w·x²/2. A parte x = 0, si annulla in x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·13,33/5 = 5,333 m

Risposta

x_c = 5,333 m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 111,3 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

b = 176 mm, h = 276 mm

A = BH − bh = 200·300 − 176·276 = 11424 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,416 × 10⁸ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(1,416 × 10⁸/11424) = 111,3 mm

Risposta

r = 111,3 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 278,4 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 2880 mm², y = 404 mm

anima: A = 3040 mm², y = 202 mm

ala inferiore: A = 3240 mm², y = 6 mm

Baricentro

ȳ = (2880·404 + 3040·202 + 3240·6)/9160 = 196,2 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 120·24³/12 + 2880·207,8² = 1,245 × 10⁸ mm⁴

anima: 8·380³/12 + 3040·5,817² = 3,668 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 270·12³/12 + 3240·190,2² = 1,172 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,245 × 10⁸ + 3,668 × 10⁷ + 1,172 × 10⁸

I_x = 2,784 × 10⁸ mm⁴ = 278,4 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 278,4 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 126,7 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 65 − (−15)·0,1736 − (−60)·0,9848 = 126,7 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 3,307 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 130 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 126,7 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 143,1 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = 30000/(π·30²/4) = 30000/706,9 = 42,44 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 21,22 MPa

R = √(21,22² + 141,5²) = 143,1 MPa

Risposta

τ_max = 143,1 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 28,07 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 28,07 mm

Risposta

δ_max = 28,07 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,465 × 10⁷ mm⁴

I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 10,01 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10,01 kN

Risposta

P_cr = 10,01 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 137,1 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Risposta

σ_cr = 137,1 MPa

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