Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 50 mm, lunghezza 400 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,5 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 250 MPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 100 mm, diametro interno 50 mm, E = 110 GPa, tensione ammissibile 100 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in acciaio è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 40 mm e lunghezza 0,5 m; il tratto BC ha diametro 30 mm e lunghezza 0,8 m. Un momento torcente di 500 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 500 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone trasmette 15 kW a 750 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 75 MPa e la torsione non deve superare 0,25° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 1 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 6 kN/m da 0 a 10 mx = 1 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 20 kN in 2,5 mw = 3 kN/m da 0 a 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 50 MPa e σᵧ = 40 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 75 MPa?

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 4,5 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 26 kNa = 4,5 mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 100 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 100 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 122,4 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1,698 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,5/4,085 × 10⁻⁶ = 122400 N = 122,4 kN

Risposta

P = 122,4 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 717,6 kN

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5890 = 7,893 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,00125, 0,0009091) = 0,0009091 (bronzo)

Carico massimo

P_max = 0,0009091·7,893 × 10⁸ = 717568 N = 717,6 kN

Risposta

P_max = 717,6 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 4,315 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·500/(80000·251327) = 0,01243 rad

φ_BC = 500000·800/(80000·79522) = 0,06288 rad

Torsione totale

φ_C = 0,01243 + 0,06288 = 0,07531 rad = 4,315°

Risposta

φ_C = 4,315°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 58,15 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diametro per la resistenza

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 58,15 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(23,49, 58,15) = 58,15 mm

Risposta

d = 58,15 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = 24 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Taglia in x = 1 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 30 − 6·1 = 24 kN

Risposta

V_x = 24 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 24,38 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2,5 + 3·4·2

R_B = 74/4 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 18,5 = 13,5 kN

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 13,5·2,5 − 3·2,5·1,25 = 24,38 kN·m

Risposta

M_x = 24,38 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 84,43 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

anima: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·315 + 3000·150)/12000 = 273,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 300·30³/12 + 9000·(315 − 273,8)² = 1,599 × 10⁷ mm⁴

anima: 10·300³/12 + 3000·(150 − 273,8)² = 6,844 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,599 × 10⁷ + 6,844 × 10⁷ = 8,443 × 10⁷ mm⁴ = 84,43 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 84,43 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 169,1 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

anima: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·152,5 + 2240·70)/9740 = 133,5 mm

Teorema del trasporto

ala: 300·25³/12 + 7500·(152,5 − 133,5)² = 3,091 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·140³/12 + 2240·(70 − 133,5)² = 1,27 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,091 × 10⁶ + 1,27 × 10⁷ = 1,579 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 133,5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·133,5/1,579 × 10⁷ = 169,1 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 169,1 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 29,58 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (50 + 40)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 75 − 45 = 30 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 5²) = 29,58 MPa

Risposta

τ_xy = 29,58 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −9,547 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −25 + −5·0,766 + 30·0,6428 = −9,547 MPa

Risposta

σ_θ = −9,547 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 45,7 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·4500²·3500²/(3·5,88 × 10¹²·8000) = 45,7 mm

Risposta

δ_P = 45,7 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 189,6 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·13,33) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·5,682 × 10⁷/100)^1/3 = 189,6 mm

Risposta

h_req = 189,6 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 51,4 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/2000² = 51404 N = 51,4 kN

Risposta

P_cr = 51,4 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 44,76 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Risposta

σ_cr = 44,76 MPa

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