Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 75 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 60 kNtratto 1: Ø40 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 60 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 400 N·m è applicato in C, a 1 m da A e a 3 m da B. Trova il momento torcente di reazione T_A alla parete A.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 1 mb = 3 m

T_A = N·m

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

45 kN @ 6 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 1,5 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova il momento flettente positivo massimo M_max tra gli appoggi.

L = 7,5 mw = 4 kN/m da 0 a 7,5 mappoggi in x = 0 e x = 6 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 15 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Trova la tensione equivalente di von Mises σ_vM.

σ_x = 20 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 20 kNa = 2 mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 125 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/360. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 125 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 120 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 120 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 1,528 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/100000 = 0,001528 = 1528 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,001528·1000 mm = 1,528 mm

Risposta

δ = 1,528 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 191 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 191 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 191 MPa

Risposta

σ_max = 191 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 14,37 °

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·38350) = 0,2507 rad

φ = 0,2507·180/π = 14,37°

Risposta

φ = 14,37°

4.Torsione degli alberi

Risposta: T_A = 300 N·m

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·3/4 = 300 N·m

T_B = 400·1/4 = 100 N·m

Risposta

T_A = 300 N·m

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 49,17 kN, R₂ = 35,83 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 98,33, M_C = 196,7, M_D = 215 kN·m, M_E = 143,3, M_F = 71,67, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 215 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 15,82 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·7,5 = 30 kN, applicata in x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·7,5·3,75

R_B = 112,5/6 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Taglio nullo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,25/4 = 2,813 m

Momento positivo massimo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11,25²/(2·4) = 15,82 kN·m

Risposta

M_max = 15,82 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 4,706 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

anima: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·107,5 + 1600·50)/4300 = 86,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·15³/12 + 2700·(107,5 − 86,1)² = 1,287 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·100³/12 + 1600·(50 − 86,1)² = 3,419 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,287 × 10⁶ + 3,419 × 10⁶ = 4,706 × 10⁶ mm⁴ = 4,706 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 4,706 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 99,47 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

anima: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·175 + 2560·80)/8560 = 146,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 200·30³/12 + 6000·(175 − 146,6)² = 5,293 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·160³/12 + 2560·(80 − 146,6)² = 1,681 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,293 × 10⁶ + 1,681 × 10⁷ = 2,211 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 146,6 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·146,6/2,211 × 10⁷ = 99,47 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 99,47 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 52,02 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 30 − 50) = 104°

Angolo sull’elemento

θ_p = 52,02°

Risposta

θ_p = 52,02°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_vM = 24,49 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 15 MPa, R = 11,18 MPa

σ₁ = 26,18 MPa, σ₂ = 3,82 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(26,18² − 26,18·3,82 + 3,82²) = 24,49 MPa

Risposta

σ_vM = 24,49 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 21,16 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 20000·2000³/(3·2,52 × 10¹²) = 21,16 mm

Risposta

δ_P = 21,16 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 206,7 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·16,67) = 9,205 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·9,205 × 10⁷/125)^1/3 = 206,7 mm

Risposta

h_req = 206,7 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 3,071 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/3000² = 3071 N = 3,071 kN

Risposta

P_cr = 3,071 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 41,95 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 41,95 mm

Risposta

d = 41,95 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 95,36, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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