Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) e un tratto di rame (diametro 50 mm, lunghezza 400 mm, E = 120 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 80 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 75 kW a 3000 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 4 m da A. Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 0,5 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 80 kN in 4 mw = 5 kN/m da 0 a 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 15 kN in 1,5 mw = 5 kN/m da 0 a 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 5 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 5 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 30 MPa e σᵧ = 60 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 90 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 2,5 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 15 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati uguali P nei terzi della luce (a L/3 da ciascun appoggio). Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 2 kNL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 65 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 65 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 14551 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1019/70000 = 0,01455 = 14551 µε

Risposta

ε = 14551 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 25,46 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 80000·589049/942478 = 50000 N

Tensione

σ₂ = 50000/1963 = 25,46 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 25,46 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,342 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·251327) = 0,005968 rad

φ = 0,005968·180/π = 0,342°

Risposta

φ = 0,342°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 9,534 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·30/751193 = 9,534 MPa

Risposta

τ_max = 9,534 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −310,6 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −80·3,5 = −280 kN·m

w: −5·3,5²/2 = −30,63 kN·m

M_x = −280 − 30,63 = −310,6 kN·m

Risposta

M_x = −310,6 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 33,75 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1,5 + 5·6·3

R_B = 112,5/6 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 18,75 = 26,25 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 26,25·1,5 − 5·1,5·0,75 = 33,75 kN·m

Risposta

M_x = 33,75 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 27,82 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

anima: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·195 + 3240·90)/6840 = 145,3 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·30³/12 + 3600·(195 − 145,3)² = 9,176 × 10⁶ mm⁴

anima: 18·180³/12 + 3240·(90 − 145,3)² = 1,864 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,176 × 10⁶ + 1,864 × 10⁷ = 2,782 × 10⁷ mm⁴ = 27,82 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 27,82 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 10,45 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

anima: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·170 + 1600·80)/7600 = 151,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 300·20³/12 + 6000·(170 − 151,1)² = 2,354 × 10⁶ mm⁴

anima: 10·160³/12 + 1600·(80 − 151,1)² = 1,149 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,354 × 10⁶ + 1,149 × 10⁷ = 1,384 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 180 − 151,1 = 28,95 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·28,95/1,384 × 10⁷ = 10,45 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 10,45 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 42,43 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (30 + 60)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 90 − 45 = 45 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 15²) = 42,43 MPa

Risposta

τ_xy = 42,43 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −66,96 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −60·0,866 + −30·0,5 = −66,96 MPa

Risposta

τ_θ = −66,96 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 44,39 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 15000·2500²·1500²/(3·3,96 × 10¹¹·4000) = 44,39 mm

Risposta

δ_P = 44,39 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 14,42 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 2000 N, L = 8000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Un carico a L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 7,211 mm

Somma entrambi i carichi

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 14,42 mm

Risposta

δ_max = 14,42 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 66,62 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2000² = 66620 N = 66,62 kN

Risposta

P_cr = 66,62 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 76,64 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 76,64 mm

Risposta

d = 76,64 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 156,6, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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