Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 110 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 65 kNtratto 1: Ø30 mm, 0,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 2 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in acciaio lungo 0,5 m è sollecitato da un momento torcente di 100 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 1,5°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 100 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 30 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 500 N·m agisce in B, a 3 m da A, e un momento torcente di 200 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 0,8 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 30 mmT_B = 500 N·mT_C = 200 N·mAB = 3 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 80 kN in 5 mw = 10 kN/m da 0 a 5 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 0 m40 kN @ 12 m35 kN @ 8 m8 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 280 mm con due ali verticali, alta 130 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 280 mmh = 130 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Trova la tensione equivalente di von Mises σ_vM.

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 125 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 125 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 15 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 15 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 5,602 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/490,9 = 224,1 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 224,1/100000 = 0,002241 = 2241 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,002241·2500 mm = 5,602 mm

Risposta

δ = 5,602 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 11,95 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 91,96 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,96·500/100000 = 0,4598 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·2000/100000 = 11,49 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,95 mm

Risposta

δ = 11,95 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 22,21 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·500/(80000·0,02618) = 23873 mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 22,21 mm

Risposta

d = 22,21 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 56,59 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 500 = −300 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 300 N·m

τ_max = 16·300000/(π·30³) = 56,59 MPa

Risposta

τ_max = 56,59 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −525 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −80·5 = −400 kN·m

w: −10·5²/2 = −125 kN·m

M_A = −400 − 125 = −525 kN·m

Risposta

M_A = −525 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 99,5 kN, R₂ = 94,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −37, M_D = 4, M_E = 13, M_F = −80, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −110 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 34,27 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 280·8 = 2240 mm², y₁ = 4 mm

due ali: A₂ = 2·8·122 = 1952 mm², y₂ = 8 + 122/2 = 69 mm

Baricentro

ȳ = (2240·4 + 1952·69)/4192 = 34,27 mm

Risposta

ȳ = 34,27 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 18,33 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

anima: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·192,5 + 1800·90)/7800 = 168,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 240·25³/12 + 6000·(192,5 − 168,8)² = 3,67 × 10⁶ mm⁴

anima: 10·180³/12 + 1800·(90 − 168,8)² = 1,605 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,67 × 10⁶ + 1,605 × 10⁷ = 1,972 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 205 − 168,8 = 36,15 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·36,15/1,972 × 10⁷ = 18,33 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 18,33 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = 15,13 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = 60/69,46 = 0,8638, sin 2θ_s = −(−35)/69,46 = 0,5039

2θ_s = atan2(35, 60) = 30,26°

Angolo sull’elemento

θ_s = 15,13°

verifica: θ_s − θ_p = 15,13 − 60,13 = −45°

Risposta

θ_s = 15,13°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_vM = 57,45 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 30 MPa, R = 28,28 MPa

σ₁ = 58,28 MPa, σ₂ = 1,716 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(58,28² − 58,28·1,716 + 1,716²) = 57,45 MPa

Risposta

σ_vM = 57,45 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 62,53 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 62,53 mm

Risposta

δ_max = 62,53 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 167 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·15) = 4,854 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·4,854 × 10⁷/125)^1/3 = 167 mm

Risposta

h_req = 167 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 5,888 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Risposta

P_cr = 5,888 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 75,89 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 75,89 mm

Risposta

d = 75,89 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 263,5, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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