Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di alluminio sotto il carico assiale.

P = 25 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 105 kNtratto 1: Ø40 mm, 0,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 100 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,6 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 60 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 10 kW a 1500 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 60 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 5,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mw = 2 kN/m da 0 a 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 4 mP = 45 kN in 2,5 mw = 6 kN/m da 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 10 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 50 mm porta una forza assiale di trazione di 170 kN insieme a un momento torcente di 1500 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 50 mmF = 170 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione R_B al puntello.

L = 5 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 9,095 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/70000 = 0,004547 = 4547 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,004547·2000 mm = 9,095 mm

Risposta

δ = 9,095 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 334,2 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 83,56 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 334,2 MPa

Risposta

σ_max = 334,2 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 21,36 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0,8704)) = 21,36 mm

d_i = 0,6·21,36 = 12,82 mm

Risposta

d_o = 21,36 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 20,4 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 17,55 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·60)) = 17,55 mm

Risposta

d = 17,55 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 13,75 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Taglia in x = 5,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 8·5,5 − 2·5,5·2,75 = 13,75 kN·m

Risposta

M_x = 13,75 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 53,44 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2,5 + 6·4·2

R_B = 160,5/4 = 40,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 40,13 = 28,88 kN

Dove è V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 13,88 kN

V(2,5⁺) = 13,88 − 45 = −31,13 kN

Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.

Momento massimo

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 28,88·2,5 − 6·2,5²/2 = 53,44 kN·m

Risposta

M_max = 53,44 kN·m

Si trova in x = 2,5 m da A.

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 11,66 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

anima: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·132,5 + 2400·60)/7400 = 109 mm

Teorema del trasporto

ala: 200·25³/12 + 5000·(132,5 − 109)² = 3,025 × 10⁶ mm⁴

anima: 20·120³/12 + 2400·(60 − 109)² = 8,639 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,025 × 10⁶ + 8,639 × 10⁶ = 1,166 × 10⁷ mm⁴ = 11,66 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 11,66 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 389,9 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

anima: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·112,5 + 800·50)/3800 = 99,34 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·25³/12 + 3000·(112,5 − 99,34)² = 675641 mm⁴

anima: 8·100³/12 + 800·(50 − 99,34)² = 2,614 × 10⁶ mm⁴

I_x = 675641 + 2,614 × 10⁶ = 3,29 × 10⁶ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 125 − 99,34 = 25,66 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·25,66/3,29 × 10⁶ = 389,9 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 389,9 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 41,23 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((10 − 90)/2)² + −10²) = 41,23 MPa

Risposta

τ_max = 41,23 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 118,2 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = 170000/(π·50²/4) = 170000/1963 = 86,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 43,29 MPa

R = √(43,29² + 61,12²) = 74,89 MPa

σ₁ = C + R = 118,2 MPa

σ₂ = C − R = −31,6 MPa

Risposta

σ₁ = 118,2 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 6,459 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 6,459 mm

Risposta

δ_max = 6,459 mm

12.Freccia della trave

Risposta: R_B = 18,75 kN

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·5/8 = 18,75 kN

Risposta

R_B = 18,75 kN

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 38,86 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2000² = 38862 N = 38,86 kN

Risposta

P_cr = 38,86 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 30,71 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Risposta

σ_cr = 30,71 MPa

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