Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 20 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 120 mm, diametro interno 50 mm, E = 120 GPa). Entrambi sono lunghi 500 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 150 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 150 kNasta: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 100 kNtratto 1: Ø35 mm, 2 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 2000 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,5 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 50 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 50 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 750 N·m agisce in B, a 1,5 m da A, e un momento torcente di 2000 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 1 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 2000 N·mAB = 1,5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 12 kN/m da 0 a 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 8 mP = 65 kN in 6 mw = 8 kN/m da 0 a 8 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 15 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −80 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 15° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 2,5 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 30 kNa = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 4 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,06332 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·9346 = 1,184 × 10⁹ N

Accorciamento

δ = 150000·500/1,184 × 10⁹ = 0,06332 mm

Risposta

δ = 0,06332 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 318,3 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 318,3 MPa

Risposta

σ_max = 318,3 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 60,12 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·50·0,9375)) = 60,12 mm

d_i = 0,5·60,12 = 30,06 mm

Risposta

d_o = 60,12 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 58,84 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 81,49 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 750 = 1250 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·50³) = 81,49 MPa

Risposta

τ_max = 81,49 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 10,5 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 24·0,5 − 12·0,5·0,25 = 10,5 kN·m

Risposta

M_x = 10,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 145,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 65·6 + 8·8·4

R_B = 646/8 = 80,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 129 − 80,75 = 48,25 kN

Dove è V = 0?

V(6⁻) = R_A − w·6 = 0,25 kN

V(6⁺) = 0,25 − 65 = −64,75 kN

Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.

Momento massimo

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 48,25·6 − 8·6²/2 = 145,5 kN·m

Risposta

M_max = 145,5 kN·m

Si trova in x = 6 m da A.

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 53,53 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

anima: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·290 + 3360·140)/5760 = 202,5 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·20³/12 + 2400·(290 − 202,5)² = 1,845 × 10⁷ mm⁴

anima: 12·280³/12 + 3360·(140 − 202,5)² = 3,508 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,845 × 10⁷ + 3,508 × 10⁷ = 5,353 × 10⁷ mm⁴ = 53,53 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 53,53 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 307,2 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

anima: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·125 + 1440·60)/2440 = 86,64 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·10³/12 + 1000·(125 − 86,64)² = 1,48 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·120³/12 + 1440·(60 − 86,64)² = 2,75 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,48 × 10⁶ + 2,75 × 10⁶ = 4,23 × 10⁶ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 86,64 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·86,64/4,23 × 10⁶ = 307,2 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 307,2 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 41,23 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−80 − 0)/2)² + 10²) = 41,23 MPa

Risposta

τ_max = 41,23 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 134,3 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 50 + 80·0,866 + 30·0,5 = 134,3 MPa

Risposta

σ_θ = 134,3 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 17,72 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 30000·2500²·3500²/(3·7,2 × 10¹²·6000) = 17,72 mm

Risposta

δ_P = 17,72 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 25,57 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·3000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 8,893 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 16,67 mm

Sommale

δ_max = 8,893 + 16,67 = 25,57 mm

Risposta

δ_max = 25,57 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 48,83 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

Risposta

P_cr = 48,83 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 4,819 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6,25 = 640

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Risposta

σ_cr = 4,819 MPa

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