Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 80 mm, diametro interno 60 mm, E = 120 GPa). Entrambi sono lunghi 600 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 150 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 150 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 30 kNtratto 1: Ø30 mm, 2 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 0,5 m, acciaio (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio trasmette 30 kW a 1450 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 80 MPa e la torsione non deve superare 1° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 3 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 75 kN in 3 mw = 6 kN/m da 0 a 3 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

10 kN @ 0 m55 kN @ 12 m25 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 150 mm × 150 mm ha un foro circolare di diametro 60 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 45 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro del foro: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 150 mm ha un intaglio rettangolare largo 60 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 52,5 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 150 mmintaglio: 60 × 30 mmcentro del foro: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 30 mm porta una forza assiale di trazione di 200 kN insieme a un momento torcente di 1500 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione tangenziale massima nel piano τ_max.

d = 30 mmF = 200 kNT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 2 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 19 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (acciaio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,2221 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 150000·600/4,053 × 10⁸ = 0,2221 mm

Risposta

δ = 0,2221 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 265,3 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 265,3 MPa

Risposta

σ_max = 265,3 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 3,377 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·79522) = 0,05895 rad

φ = 0,05895·180/π = 3,377°

Risposta

φ = 3,377°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 34,65 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diametro per la resistenza

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm

d_τ = ∛(16·197572/(π·80)) = 23,26 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·197572/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 34,65 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(23,26, 34,65) = 34,65 mm

Risposta

d = 34,65 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −252 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −75·3 = −225 kN·m

w: −6·3²/2 = −27 kN·m

M_A = −225 − 27 = −252 kN·m

Risposta

M_A = −252 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 10 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 11,25 kN, R₂ = 78,75 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = −17,5, M_D = −15, M_E = −62,5, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = −110 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 38,64 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (22500·75 − 2827·45)/(22500 − 2827) = 79,31 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·150³/12 + 22500·−4,312² = 42,61 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−34,31² = 3,965 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 38,64 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 38,64 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 41,06 × 10⁶ mm⁴

Baricentro

ȳ = (22500·75 − 1800·52,5)/(22500 − 1800) = 76,96 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,957² = 42,27 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

60·30³/12 + 1800·−24,46² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 41,06 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 41,06 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = −58,28 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, −30 − 20) = −116,6°

Angolo sull’elemento

θ_p = −58,28°

Risposta

θ_p = −58,28°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 316,3 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = 200000/(π·30²/4) = 200000/706,9 = 282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282,9 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 141,5 MPa

R = √(141,5² + 282,9²) = 316,3 MPa

Risposta

τ_max = 316,3 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 5,926 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 19000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·2000²·4000²/(3·1,14 × 10¹³·6000) = 5,926 mm

Risposta

δ_P = 5,926 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,726 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 48,83 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

Risposta

P_cr = 48,83 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 111 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Risposta

σ_cr = 111 MPa

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