Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 120 mm, diametro interno 70 mm, E = 100 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 50 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 50 kNasta: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 65 kNtratto 1: Ø40 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 2 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 12 mm viene torto da un momento torcente di 30 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 400 mm ruotano di 8,66° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 30 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 8,66°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio trasmette 5 kW a 300 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 40 MPa e la torsione non deve superare 0,5° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

25 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

35 kN @ 0 m30 kN @ 12 m40 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 80 mm e alto 50 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 195 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 300 mmintaglio: 80 × 50 mmcentro del foro: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −50 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 40 mm porta una forza assiale di trazione di 90 kN insieme a un momento torcente di 750 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 40 mmF = 90 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 3 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 6 kNa = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,0401 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 50000·800/9,975 × 10⁸ = 0,0401 mm

Risposta

δ = 0,0401 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 574,7 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 574,7 MPa

Risposta

σ_max = 574,7 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 39 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 8,66·π/180 = 0,1511 rad

Modulo di taglio

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(2036·0,1511) = 39000 MPa

G = 39 GPa

Risposta

G = 39 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 51,7 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Diametro per la resistenza

T = 159,2 N·m = 159155 N·mm

d_τ = ∛(16·159155/(π·40)) = 27,26 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·159155/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 51,7 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(27,26, 51,7) = 51,7 mm

Risposta

d = 51,7 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 72,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 125, M_C = 210, M_D = 255 kN·m, M_E = 210, M_F = 125, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 255 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 2 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 46,25 kN, R₂ = 58,75 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −70 kN·m, M_C = −47,5, M_D = −25, M_E = −2,5, M_F = −60, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −70 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 76,52 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

anima: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·270 + 4680·130)/10280 = 206,3 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·20³/12 + 5600·(270 − 206,3)² = 2,293 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·260³/12 + 4680·(130 − 206,3)² = 5,358 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,293 × 10⁷ + 5,358 × 10⁷ = 7,652 × 10⁷ mm⁴ = 76,52 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 76,52 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 260,1 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (36000·150 − 4000·195)/(36000 − 4000) = 144,4 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·300³/12 + 36000·5,625² = 271,1 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

80·50³/12 + 4000·50,63² = 11,08 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 260,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 260,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = 50,65 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = −10/50,99 = −0,1961, sin 2θ_s = −(−50)/50,99 = 0,9806

2θ_s = atan2(50, −10) = 101,3°

Angolo sull’elemento

θ_s = 50,65°

verifica: θ_s − θ_p = 50,65 − (−84,35) = 135°

Risposta

θ_s = 50,65°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 105,4 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = 90000/(π·40²/4) = 90000/1257 = 71,62 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 35,81 MPa

R = √(35,81² + 59,68²) = 69,6 MPa

σ₁ = C + R = 105,4 MPa

σ₂ = C − R = −33,79 MPa

Risposta

σ₁ = 105,4 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 12,23 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, a = 3000 mm, b = 5000 mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·3000²·5000²/(3·4,6 × 10¹²·8000) = 12,23 mm

Risposta

δ_P = 12,23 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·1500⁴/(384·11000·4,167) = 8,629 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 65,8 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/4000² = 65797 N = 65,8 kN

Risposta

P_cr = 65,8 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 4,819 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/12,5 = 640

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Risposta

σ_cr = 4,819 MPa

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