Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 20 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) e un tratto di ottone (diametro 40 mm, lunghezza 300 mm, E = 100 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 40 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 50 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 100 N·m agisce in B, a 1,5 m da A, e un momento torcente di 250 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 0,8 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 20 kN·m in x = 2 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a sinistra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mM₀ = 20 kN·m orario, in 2 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 10 mw = 4 kN/m da 0 a 2 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 120 mm × 150 mm ha un foro circolare di diametro 30 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 105 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del foro: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 90 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo M_allow che la trave può sopportare.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = −70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 4 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,6112 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/100000 = 0,0004074 = 407,4 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,0004074·1500 mm = 0,6112 mm

Risposta

δ = 0,6112 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 12,73 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 40000·418879/1,047 × 10⁶ = 16000 N

Tensione

σ₂ = 16000/1257 = 12,73 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 12,73 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 5,746 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(26000·38350) = 0,1003 rad

φ = 0,1003·180/π = 5,746°

Risposta

φ = 5,746°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 10,19 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 100 = 150 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Risposta

τ_max = 10,19 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −4 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/10 = 2 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −2 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a sinistra della coppia

La parte sinistra contiene solo R_A.

M_x = R_A·a = −2·2 = −4 kN·m

Risposta

M_x = −4 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 6,48 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, applicata in x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·2·1

R_B = 8/10 = 0,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 0,8 = 7,2 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 7,2/4 = 1,8 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 7,2·1,8 − 4·1,8²/2 = 6,48 kN·m

Risposta

M_max = 6,48 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (18000·75 − 706,9·105)/(18000 − 706,9) = 73,77 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·150³/12 + 18000·1,226² = 33,78 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·31,23² = 0,729 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 15,77 kN·m

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Baricentro

ȳ = (6000·212,5 + 4000·100)/10000 = 167,5 mm

bordo superiore: c = 225 − 167,5 = 57,5 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 240·25³/12 + 6000·45² + 20·200³/12 + 4000·67,5² = 4,402 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento positivo: la parte superiore è compressa, quella inferiore tesa.

bordo superiore: M = 90·4,402 × 10⁷/57,5 = 68,9 kN·m

bordo inferiore: M = 60·4,402 × 10⁷/167,5 = 15,77 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 15,77 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 15,77 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 50,99 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((20 − 120)/2)² + −10²) = 50,99 MPa

Risposta

τ_max = 50,99 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −51,89 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −75 + 5·0,766 + −30·−0,6428 = −51,89 MPa

Risposta

σ_θ = −51,89 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,569 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 2,569 mm

Risposta

δ_max = 2,569 mm

12.Freccia della trave

Risposta: M_A = 20 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 80 − 60 = 20 kN·m

Risposta

M_A = 20 kN·m

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 10,24 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·6000 = 6000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/6000² = 10235 N = 10,24 kN

Risposta

P_cr = 10,24 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 49,35 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Risposta

σ_cr = 49,35 MPa

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