Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 40 mm, lunghezza 200 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,4 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) e un tratto di bronzo (diametro 60 mm, lunghezza 200 mm, E = 110 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 20 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 250 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio trasmette 50 kW a 300 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 75 MPa e la torsione non deve superare 1° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 5 kN/m da 0 a 10 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

45 kN @ 6 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 250 mm e spesse 12 mm, un’altezza complessiva di 420 mm e un’anima spessa 14 mm. Porta un momento flettente di 80 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione massima σ_max nella sezione.

B = 250 mmH = 420 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 40° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 116 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1,326 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,4/3,448 × 10⁻⁶ = 115997 N = 116 kN

Risposta

P = 116 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 6,109 MPa

Rigidezze

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 20000·1,555 × 10⁶/1,801 × 10⁶ = 17274 N

Tensione

σ₂ = 17274/2827 = 6,109 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 6,109 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 11,67 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·38350) = 0,2037 rad

φ = 0,2037·180/π = 11,67°

Risposta

φ = 11,67°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 58,37 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Diametro per la resistenza

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·75)) = 47,63 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·1,592 × 10⁶/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 58,37 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(47,63, 58,37) = 58,37 mm

Risposta

d = 58,37 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 11,88 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 25·0,5 − 5·0,5·0,25 = 11,88 kN·m

Risposta

M_x = 11,88 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 97,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 0, M_C = −15, M_D = −45, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −90 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 42,5 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

anima: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·230 + 3520·110)/7920 = 176,7 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·20³/12 + 4400·(230 − 176,7)² = 1,266 × 10⁷ mm⁴

anima: 16·220³/12 + 3520·(110 − 176,7)² = 2,984 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,266 × 10⁷ + 2,984 × 10⁷ = 4,25 × 10⁷ mm⁴ = 42,5 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 42,5 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_max = 52,14 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 420 − 2·12 = 396 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·420³ − 236·396³)/12

I_x = 3,222 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 210 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·210/3,222 × 10⁸ = 52,14 MPa

Risposta

σ_max = 52,14 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 31,72 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 110 − 80) = 63,43°

Angolo sull’elemento

θ_p = 31,72°

Risposta

θ_p = 31,72°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = 11,3 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−15·0,9848 + −20·0,1736 = 11,3 MPa

Risposta

τ_θ = 11,3 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 3,81 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 3,81 mm

Risposta

δ = 3,81 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 5,753 × 10⁷ mm⁴

I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 5,712 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/6000² = 5712 N = 5,712 kN

Risposta

P_cr = 5,712 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 49,35 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Risposta

σ_cr = 49,35 MPa

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