Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 90 kNtratto 1: Ø35 mm, 0,5 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 500 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 15 kW a 500 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 50 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 7,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mw = 6 kN/m da 0 a 8 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 20 kN in 3,5 mw = 2 kN/m da 0 a 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 150 mm ha un foro circolare di diametro 60 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 97,5 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro del foro: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 500 mm e spessore di parete di 5 mm contiene gas a una pressione relativa di 0,8 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 35° rispetto all’asse del cilindro. Trova il modulo della tensione tangenziale |τ_n| che agisce lungo la cordatura di saldatura.

D = 500 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 4 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 24 kNa = 4 mL = 5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 28 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 14551 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1019/70000 = 0,01455 = 14551 µε

Risposta

ε = 14551 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 17,29 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 93,54·500/200000 = 0,2339 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·1500/70000 = 17,05 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 17,29 mm

Risposta

δ = 17,29 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 11,4 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·15708) = 0,1989 rad

φ = 0,1989·180/π = 11,4°

Risposta

φ = 11,4°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 30,79 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·50)) = 30,79 mm

Risposta

d = 30,79 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 11,25 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Taglia in x = 7,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 24·7,5 − 6·7,5·3,75 = 11,25 kN·m

Risposta

M_x = 11,25 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 21,25 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3,5 + 2·5·2,5

R_B = 95/5 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 19 = 11 kN

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 11·2,5 − 2·2,5·1,25 = 21,25 kN·m

Risposta

M_x = 21,25 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 54,03 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (30000·75 − 2827·97,5)/(30000 − 2827) = 72,66 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·150³/12 + 30000·2,341² = 56,41 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·24,84² = 2,381 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 54,03 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 54,03 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 114,8 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

anima: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·187,5 + 1440·90)/5640 = 162,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·15³/12 + 4200·(187,5 − 162,6)² = 2,681 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·180³/12 + 1440·(90 − 162,6)² = 1,148 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,681 × 10⁶ + 1,148 × 10⁷ = 1,416 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 162,6 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·162,6/1,416 × 10⁷ = 114,8 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 114,8 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = −18,43 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = 20/25 = 0,8, sin 2θ_s = −15/25 = −0,6

2θ_s = atan2(−15, 20) = −36,87°

Angolo sull’elemento

θ_s = −18,43°

verifica: θ_s − θ_p = −18,43 − 26,57 = −45°

Risposta

θ_s = −18,43°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: |τ_n| = 9,397 MPa

Tensioni nella parete

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 0,8·250/5 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

|τ_n| = (40 − 20)·sin 35°·cos 35° = 9,397 MPa

Risposta

|τ_n| = 9,397 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 27,71 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·4000²·1000²/(3·9,24 × 10¹¹·5000) = 27,71 mm

Risposta

δ_P = 27,71 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,794 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 28000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·2500³/(48·3,99 × 10¹²) = 2,284 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 0,5099 mm

Sommale

δ_max = 2,284 + 0,5099 = 2,794 mm

Risposta

δ_max = 2,794 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 113,4 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3500² = 113394 N = 113,4 kN

Risposta

P_cr = 113,4 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 30,71 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Risposta

σ_cr = 30,71 MPa

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