Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di acciaio sotto il carico assiale.

P = 15 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 80 kNtratto 1: Ø25 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in acciaio è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 60 mm e lunghezza 2,5 m; il tratto BC ha diametro 20 mm e lunghezza 1 m. Un momento torcente di 500 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 30 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 1500 N·m agisce in B, a 1,5 m da A, e un momento torcente di 200 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 0,8 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 30 mmT_B = 1500 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,5 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

35 kN @ 4 m45 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 12 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 50 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 140 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmcentro del foro: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 5 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mmM = 5 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −30 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 30 mm porta una forza assiale di compressione di 90 kN insieme a un momento torcente di 200 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 30 mmF = −90 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 2 kNa = 5 mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 140 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 140 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 1,326 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/200000 = 0,0006631 = 663,1 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,0006631·2000 mm = 1,326 mm

Risposta

δ = 1,326 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 707,4 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 163 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 707,4 MPa

Risposta

σ_max = 707,4 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 23,5 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·2500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,01228 rad

φ_BC = 500000·1000/(80000·15708) = 0,3979 rad

Torsione totale

φ_C = 0,01228 + 0,3979 = 0,4102 rad = 23,5°

Risposta

φ_C = 23,5°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 245,2 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 1500 = −1300 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 1300 N·m

τ_max = 16·1,3 × 10⁶/(π·30³) = 245,2 MPa

Risposta

τ_max = 245,2 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 19,17 kN, R₂ = 60,83 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 19,17, M_C = 38,33, M_D = 57,5, M_E = 76,67 kN·m, M_F = 60,83, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = 76,67 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 10 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 11 kN, R₂ = 99 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 22, M_C = 44, M_D = 66, M_E = −22, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = −110 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (20000·100 − 1963·140)/(20000 − 1963) = 95,65 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·200³/12 + 20000·4,354² = 67,05 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·50⁴/64 + 1963·44,35² = 4,17 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 62,88 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 10,16 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

anima: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·315 + 5400·150)/10800 = 232,5 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·30³/12 + 5400·(315 − 232,5)² = 3,716 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·300³/12 + 5400·(150 − 232,5)² = 7,725 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,716 × 10⁷ + 7,725 × 10⁷ = 1,144 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 232,5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·232,5/1,144 × 10⁸ = 10,16 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 10,16 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 53,03 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = 70 MPa, R = √(20² + (−30)²) = 36,06 MPa

σ₁ = 106,1 MPa, σ₂ = 33,94 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72,11, 106,1, 33,94)/2 = 53,03 MPa

Risposta

τ_abs = 53,03 MPa

Qui governa il cerchio fuori dal piano: il massimo assoluto è maggiore del massimo nel piano R.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 10,34 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = −90000/(π·30²/4) = −90000/706,9 = −127,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = −63,66 MPa

R = √((−63,66)² + 37,73²) = 74 MPa

σ₁ = C + R = 10,34 MPa

σ₂ = C − R = −137,7 MPa

Risposta

σ₁ = 10,34 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 12,9 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 2000 N, a = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,921 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002976 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12,9 mm

Risposta

δ_B = 12,9 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2500⁴/(384·70000·6,944) = 4,185 × 10⁶ mm⁴

I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 4,185 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,326 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1750² = 4326 N = 4,326 kN

Risposta

P_cr = 4,326 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 64,53 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 64,53 mm

Risposta

d = 64,53 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 124, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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