Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 110 kNtratto 1: Ø40 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 2 m, acciaio (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in acciaio (diametro esterno 60 mm, diametro interno 45 mm, lunghezza 1,2 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 2000 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 2000 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 50 kW a 1450 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 5 kN/m da 0 a 10 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

25 kN @ 12 m40 kN @ 4 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 168 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 45° in senso orario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1,5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 24 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 13 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 5 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 5 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1353 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/200000 = 0,001353 = 1353 µε

Risposta

ε = 1353 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 7,347 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·1500/70000 = 1,876 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·2000/200000 = 5,471 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,347 mm

Risposta

δ = 7,347 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,976 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Angolo di torsione

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1200/(80000·869767) = 0,03449 rad

φ = 0,03449·180/π = 1,976°

Risposta

φ = 1,976°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 14,31 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·25/575243 = 14,31 MPa

Risposta

τ_max = 14,31 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 56,88 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 25·3,5 − 5·3,5·1,75 = 56,88 kN·m

Risposta

M_x = 56,88 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 31,5 kN, R₂ = 81,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 51, M_C = 78, M_D = 1, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −100 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (36000·120 − 1257·168)/(36000 − 1257) = 118,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·240³/12 + 36000·1,736² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49,74² = 3,234 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 205,8 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

anima: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·145 + 2520·70)/4120 = 99,13 mm

Teorema del trasporto

ala: 160·10³/12 + 1600·(145 − 99,13)² = 3,38 × 10⁶ mm⁴

anima: 18·140³/12 + 2520·(70 − 99,13)² = 6,254 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,38 × 10⁶ + 6,254 × 10⁶ = 9,634 × 10⁶ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 99,13 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·99,13/9,634 × 10⁶ = 205,8 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 205,8 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 41,23 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−50 − −30)/2)² + 40²) = 41,23 MPa

Risposta

τ_max = 41,23 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −10 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−10·−1 + 10·0 = −10 MPa

Risposta

τ_θ = −10 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 37,5 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 10,71 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01071 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 37,5 mm

Risposta

δ_B = 37,5 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 6,778 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·2000³/(48·6,27 × 10¹¹) = 3,456 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 3,323 mm

Sommale

δ_max = 3,456 + 3,323 = 6,778 mm

Risposta

δ_max = 6,778 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,998 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4,998 kN

Risposta

P_cr = 4,998 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 34,36 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 34,36 mm

Risposta

d = 34,36 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 349,3, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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