Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 120 mm, diametro interno 70 mm, E = 120 GPa). Entrambi sono lunghi 600 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 50 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 50 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 50 kNtratto 1: Ø40 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 500 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,75 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 50 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 40 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 1000 N·m è applicato in C, a 1,2 m da A e a 1,5 m da B. Trova l’angolo di rotazione φ_C della sezione C, in gradi.

d = 40 mmT₀ = 1000 N·ma = 1,2 mb = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 6,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mw = 3 kN/m da 0 a 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 6,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 45 kN in 1 mw = 3 kN/m da 0 a 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 200 mm e spesse 14 mm, un’altezza complessiva di 440 mm e un’anima spessa 14 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 200 mmH = 440 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 10 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −40 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 40° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 20 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 65 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 65 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,02894 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·7461 = 1,037 × 10⁹ N

Accorciamento

δ = 50000·600/1,037 × 10⁹ = 0,02894 mm

Risposta

δ = 0,02894 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,357 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39,79·1000/200000 = 0,1989 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·500/70000 = 3,158 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,357 mm

Risposta

δ = 3,357 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 42,08 mm

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0,6836)) = 42,08 mm

d_i = 0,75·42,08 = 31,56 mm

Risposta

d_o = 42,08 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 37,07 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 3,897 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1,5/2,7 = 555,6 N·m

T_B = 1000·1,2/2,7 = 444,4 N·m

Rotazione di C

Usa il tratto AC: è incastrato in A e porta T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 555556·1200/(39000·251327) = 0,06801 rad = 3,897°

Risposta

φ_C = 3,897°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 14,63 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Taglia in x = 6,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 12·6,5 − 3·6,5·3,25 = 14,63 kN·m

Risposta

M_x = 14,63 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 23,06 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·1 + 3·8·4

R_B = 141/8 = 17,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 17,63 = 51,38 kN

Taglia in x = 6,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 51,38·6,5 − 45·(6,5 − 1) − 3·6,5·3,25 = 23,06 kN·m

Risposta

M_x = 23,06 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 335,7 × 10⁶ mm⁴

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 440 − 2·14 = 412 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·440³ − 186·412³)/12

I_x = 3,357 × 10⁸ mm⁴ = 335,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 335,7 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 28,93 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

anima: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·150 + 2520·70)/6520 = 119,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 200·20³/12 + 4000·(150 − 119,1)² = 3,958 × 10⁶ mm⁴

anima: 18·140³/12 + 2520·(70 − 119,1)² = 1,019 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,958 × 10⁶ + 1,019 × 10⁷ = 1,414 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 160 − 119,1 = 40,92 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·40,92/1,414 × 10⁷ = 28,93 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 28,93 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 60 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((10 − 10)/2)² + 60²) = 60 MPa

Risposta

τ_max = 60 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = 4,639 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−10·0,9848 + −30·0,1736 = 4,639 MPa

Risposta

τ_θ = 4,639 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 22,41 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 22,41 mm

Risposta

δ_max = 22,41 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 14,82 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·2000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 13,18 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 1,647 mm

Sommale

δ_max = 13,18 + 1,647 = 14,82 mm

Risposta

δ_max = 14,82 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,858 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/4000² = 4858 N = 4,858 kN

Risposta

P_cr = 4,858 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 114,6 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 114,6 mm

Risposta

d = 114,6 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 209,4, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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