Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di rame sotto il carico assiale.

P = 15 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) e un tratto di ottone (diametro 50 mm, lunghezza 300 mm, E = 100 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 60 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 400 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 20 kW a 300 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 55 kN·m in x = 1 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a sinistra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mM₀ = 55 kN·m orario, in 1 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 40 kN in 3 mw = 10 kN/m da 0 a 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 40 mm e alto 40 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 72 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 240 mmintaglio: 40 × 40 mmcentro del foro: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 250 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di Tresca (massima tensione tangenziale).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2,5 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 7 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 3 mw = 4 kN/m

M_A = kN·m

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,449 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 191/117000 = 0,001632 = 1632 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,001632·1500 mm = 2,449 mm

Risposta

δ = 2,449 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 24,45 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 60000·654498/818123 = 48000 N

Tensione

σ₂ = 48000/1963 = 24,45 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 24,45 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 7,39 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·79522) = 0,129 rad

φ = 0,129·180/π = 7,39°

Risposta

φ = 7,39°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 34,35 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Risposta

d = 34,35 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −9,167 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/6 = 9,167 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −9,167 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a sinistra della coppia

La parte sinistra contiene solo R_A.

M_x = R_A·a = −9,167·1 = −9,167 kN·m

Risposta

M_x = −9,167 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 80 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·3 + 10·6·3

R_B = 300/6 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 50·2 − 10·2·1 = 80 kN·m

Risposta

M_x = 80 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 68,16 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

anima: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·255 + 3840·120)/12840 = 214,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 300·30³/12 + 9000·(255 − 214,6)² = 1,535 × 10⁷ mm⁴

anima: 16·240³/12 + 3840·(120 − 214,6)² = 5,282 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,535 × 10⁷ + 5,282 × 10⁷ = 6,816 × 10⁷ mm⁴ = 68,16 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 68,16 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 168,7 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (36000·120 − 1600·72)/(36000 − 1600) = 122,2 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·240³/12 + 36000·−2,233² = 173 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

40·40³/12 + 1600·−50,23² = 4,251 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 168,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 168,7 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = 74 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = −40/47,17 = −0,848, sin 2θ_s = −(−25)/47,17 = 0,53

2θ_s = atan2(25, −40) = 148°

Angolo sull’elemento

θ_s = 74°

verifica: θ_s − θ_p = 74 − (−61) = 135°

Risposta

θ_s = 74°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 5

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = −25 MPa, R = 25 MPa

σ₁ = 0 MPa, σ₂ = −50 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 50 MPa

n = 250/50 = 5

Risposta

n = 5

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 3,255 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 7000·2500³/(3·1,12 × 10¹³) = 3,255 mm

Risposta

δ_P = 3,255 mm

12.Freccia della trave

Risposta: M_A = 4,5 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4,5 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 18 − 13,5 = 4,5 kN·m

Risposta

M_A = 4,5 kN·m

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 20,14 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/4200² = 20142 N = 20,14 kN

Risposta

P_cr = 20,14 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 12,34 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/20 = 400

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Risposta

σ_cr = 12,34 MPa

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