Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 60 kNtratto 1: Ø35 mm, 1 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in acciaio lungo 1,5 m è sollecitato da un momento torcente di 250 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 1,5°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 250 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio trasmette 50 kW a 1450 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 75 MPa e la torsione non deve superare 0,5° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

60 kN @ 6 m50 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 0 m50 kN @ 6 m15 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 50 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 90 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 300 mmintaglio: 30 × 50 mmcentro del foro: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 275 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di von Mises (energia di distorsione).

σ_x = −60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 26 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 2037 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/70000 = 0,002037 = 2037 µε

Risposta

ε = 2037 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,517 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 62,36·1000/117000 = 0,533 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·1000/100000 = 2,984 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,517 mm

Risposta

δ = 3,517 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 36,75 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·1500/(80000·0,02618) = 179049 mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 36,75 mm

Risposta

d = 36,75 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 46,82 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diametro per la resistenza

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

d_τ = ∛(16·329286/(π·75)) = 28,17 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·329286/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 46,82 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(28,17, 46,82) = 46,82 mm

Risposta

d = 46,82 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 71,67 kN, R₂ = 38,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 143,3, M_C = 186,7, M_D = 230 kN·m, M_E = 153,3, M_F = 76,67, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 230 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 1 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 63,75 kN, R₂ = 56,25 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −46,25, M_D = −37,5, M_E = −43,75, M_F = −50, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −55 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 49,96 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

anima: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·275 + 3120·130)/6120 = 201,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·30³/12 + 3000·(275 − 201,1)² = 1,662 × 10⁷ mm⁴

anima: 12·260³/12 + 3120·(130 − 201,1)² = 3,334 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,662 × 10⁷ + 3,334 × 10⁷ = 4,996 × 10⁷ mm⁴ = 49,96 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 49,96 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 331,6 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (45000·150 − 1500·90)/(45000 − 1500) = 152,1 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·300³/12 + 45000·−2,069² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

30·50³/12 + 1500·−62,07² = 6,091 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 331,6 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 331,6 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = −26,57 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 90 − 60) = −53,13°

Angolo sull’elemento

θ_p = −26,57°

Risposta

θ_p = −26,57°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 4,348

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = −40 MPa, R = 28,28 MPa

σ₁ = −11,72 MPa, σ₂ = −68,28 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−11,72)² − (−11,72)·(−68,28) + (−68,28)²) = 63,25 MPa

n = 275/63,25 = 4,348

Risposta

n = 4,348

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 59,56 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 59,56 mm

Risposta

δ = 59,56 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 8,73 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·3000³/(48·2,4 × 10¹²) = 6,094 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 2,637 mm

Sommale

δ_max = 6,094 + 2,637 = 8,73 mm

Risposta

δ_max = 8,73 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 2,481 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Risposta

P_cr = 2,481 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 38,86 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Risposta

σ_cr = 38,86 MPa

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