Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 15 kNtratto 1: Ø40 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 1500 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,8 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 40 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 40 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 250 N·m è applicato in C, a 2 m da A e a 0,8 m da B. Trova l’angolo di rotazione φ_C della sezione C, in gradi.

d = 40 mmT₀ = 250 N·ma = 2 mb = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 12 kN/m da 0 a 4 mx = 3 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 4 mP = 75 kN in 1 mw = 4 kN/m da 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 120 mm con due ali verticali, alta 180 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 120 mmh = 180 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 200 mm e spesse 10 mm, un’altezza complessiva di 500 mm e un’anima spessa 8 mm. Porta un momento flettente di 30 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 200 mmH = 500 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −60 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = −40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 25° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 3 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 125 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 2,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 125 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 2728 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 191/70000 = 0,002728 = 2728 µε

Risposta

ε = 2728 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 47,75 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 47,75 MPa

Risposta

σ_max = 47,75 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 68,65 mm

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·40·0,5904)) = 68,65 mm

d_i = 0,8·68,65 = 54,92 mm

Risposta

d_o = 68,65 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 57,59 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 0,8351 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·0,8/2,8 = 71,43 N·m

T_B = 250·2/2,8 = 178,6 N·m

Rotazione di C

Usa il tratto AC: è incastrato in A e porta T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 71429·2000/(39000·251327) = 0,01457 rad = 0,8351°

Risposta

φ_C = 0,8351°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −12 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 24 − 12·3 = −12 kN

Risposta

V_x = −12 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 62,25 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·1 + 4·4·2

R_B = 107/4 = 26,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 91 − 26,75 = 64,25 kN

Dove è V = 0?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 60,25 kN

V(1⁺) = 60,25 − 75 = −14,75 kN

Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.

Momento massimo

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 64,25·1 − 4·1²/2 = 62,25 kN·m

Risposta

M_max = 62,25 kN·m

Si trova in x = 1 m da A.

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 70,72 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 120·8 = 960 mm², y₁ = 4 mm

due ali: A₂ = 2·8·172 = 2752 mm², y₂ = 8 + 172/2 = 94 mm

Baricentro

ȳ = (960·4 + 2752·94)/3712 = 70,72 mm

Risposta

ȳ = 70,72 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 22,94 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 500 − 2·10 = 480 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·500³ − 192·480³)/12

I_x = 3,139 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 250 − 10 = 240 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·240/3,139 × 10⁸ = 22,94 MPa

Risposta

σ_j = 22,94 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 78,1 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = 10 MPa, R = √((−50)² + (−60)²) = 78,1 MPa

σ₁ = 88,1 MPa, σ₂ = −68,1 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(156,2, 88,1, 68,1)/2 = 78,1 MPa

Risposta

τ_abs = 78,1 MPa

Qui σ₁ e σ₂ hanno segni opposti, quindi il massimo nel piano R è anche il massimo assoluto.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 34,93 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 30 + −40·0,6428 + 40·0,766 = 34,93 MPa

Risposta

σ_θ = 34,93 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 5,561 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 3000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·2500³/(3·7,2 × 10¹²) = 2,17 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 3,391 mm

Sommale

δ = 2,17 + 3,391 = 5,561 mm

Risposta

δ = 5,561 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 132 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3000⁴/(384·11000·10) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·2,397 × 10⁷/125)^1/3 = 132 mm

Risposta

h_req = 132 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 10,36 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/3000² = 10363 N = 10,36 kN

Risposta

P_cr = 10,36 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 25,18 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12,5 = 280

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Risposta

σ_cr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials