Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di ottone, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 12 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 15 kNtratto 1: Ø25 mm, 1,5 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 250 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,8 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 80 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 75 kW a 1500 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 12 kN/m da 0 a 4 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 45 kN in 6 mw = 12 kN/m da 0 a 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 170 mm e spesse 14 mm, un’altezza complessiva di 480 mm e un’anima spessa 10 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 170 mmH = 480 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 200 mm ha un intaglio rettangolare largo 60 mm e alto 50 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 70 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 200 mmintaglio: 60 × 50 mmcentro del foro: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 90 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 30 mm porta una forza assiale di trazione di 140 kN insieme a un momento torcente di 500 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 30 mmF = 140 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 24 kNa = 2 mL = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 22 kNw = 10 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 115 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 115 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 3979 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113,1 = 397,9 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/100000 = 0,003979 = 3979 µε

Risposta

ε = 3979 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 132,6 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 132,6 MPa

Risposta

σ_max = 132,6 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 29,98 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·80·0,5904)) = 29,98 mm

d_i = 0,8·29,98 = 23,99 mm

Risposta

d_o = 29,98 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 25,15 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 8,044 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·40/2,374 × 10⁶ = 8,044 MPa

Risposta

τ_max = 8,044 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = 18 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 24 − 12·0,5 = 18 kN

Risposta

V_x = 18 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 53,25 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·6 + 12·8·4

R_B = 654/8 = 81,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 141 − 81,75 = 59,25 kN

Taglia in x = 1 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 59,25·1 − 12·1·0,5 = 53,25 kN·m

Risposta

M_x = 53,25 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 335,4 × 10⁶ mm⁴

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 480 − 2·14 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·480³ − 160·452³)/12

I_x = 3,354 × 10⁸ mm⁴ = 335,4 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 335,4 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 76,29 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (24000·100 − 3000·70)/(24000 − 3000) = 104,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·200³/12 + 24000·−4,286² = 80,44 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

60·50³/12 + 3000·−34,29² = 4,152 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 76,29 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 76,29 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = 13,28 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = 30/33,54 = 0,8944, sin 2θ_s = −(−15)/33,54 = 0,4472

2θ_s = atan2(15, 30) = 26,57°

Angolo sull’elemento

θ_s = 13,28°

verifica: θ_s − θ_p = 13,28 − 58,28 = −45°

Risposta

θ_s = 13,28°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 235,8 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = 140000/(π·30²/4) = 140000/706,9 = 198,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 99,03 MPa

R = √(99,03² + 94,31²) = 136,8 MPa

σ₁ = C + R = 235,8 MPa

σ₂ = C − R = −37,73 MPa

Risposta

σ₁ = 235,8 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 37,65 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 24000·2000³/(3·1,7 × 10¹²) = 37,65 mm

Risposta

δ_P = 37,65 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 3,708 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 22000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·1500³/(48·5,95 × 10¹¹) = 2,6 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·1500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 1,108 mm

Sommale

δ_max = 2,6 + 1,108 = 3,708 mm

Risposta

δ_max = 3,708 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 52,64 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/4000² = 52638 N = 52,64 kN

Risposta

P_cr = 52,64 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 159,7 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 159,7 mm

Risposta

d = 159,7 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 200,3, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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