Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 250 MPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 120 mm, diametro interno 70 mm, E = 110 GPa, tensione ammissibile 60 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in acciaio è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 30 mm e lunghezza 0,8 m; il tratto BC ha diametro 25 mm e lunghezza 0,8 m. Un momento torcente di 1000 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 1000 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,8 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 50 kW a 1800 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 50 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 4 kN/m da 0 a 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova il momento flettente positivo massimo M_max tra gli appoggi.

L = 10 mw = 2 kN/m da 0 a 10 mappoggi in x = 0 e x = 8 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 180 mm con due ali verticali, alta 130 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b = 180 mmh = 130 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 120 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo M_allow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 60 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 15° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 24 kNa = 2 mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 30 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 110 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 110 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 5093 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1019/200000 = 0,005093 = 5093 µε

Risposta

ε = 5093 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 584,8 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1,072 × 10⁹ N

Deformazione governante

ε = min(0,00125, 0,0005455) = 0,0005455 (bronzo)

Carico massimo

P_max = 0,0005455·1,072 × 10⁹ = 584765 N = 584,8 kN

Risposta

P_max = 584,8 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 22,15 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·800/(80000·79522) = 0,1258 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·800/(80000·38350) = 0,2608 rad

Torsione totale

φ_C = 0,1258 + 0,2608 = 0,3865 rad = 22,15°

Risposta

φ_C = 22,15°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 30,01 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·50)) = 30,01 mm

Risposta

d = 30,01 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 8 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 10·4 − 4·4·2 = 8 kN·m

Risposta

M_x = 8 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 14,06 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·10·5

R_B = 100/8 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12,5 = 7,5 kN

Taglio nullo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7,5/2 = 3,75 m

Momento positivo massimo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7,5²/(2·2) = 14,06 kN·m

Risposta

M_max = 14,06 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 5,93 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 180·8 = 1440 mm², y₁ = 4 mm

due ali: A₂ = 2·8·122 = 1952 mm², y₂ = 8 + 122/2 = 69 mm

Baricentro

ȳ = (1440·4 + 1952·69)/3392 = 41,41 mm

Teorema del trasporto

base: 180·8³/12 + 1440·(4 − 41,41)² = 2,023 × 10⁶ mm⁴

due ali: 2·8·122³/12 + 1952·(69 − 41,41)² = 3,907 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,023 × 10⁶ + 3,907 × 10⁶

I_x = 5,93 × 10⁶ mm⁴ = 5,93 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 5,93 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 22,4 kN·m

Baricentro

ȳ = (4400·190 + 3240·90)/7640 = 147,6 mm

bordo superiore: c = 200 − 147,6 = 52,41 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 220·20³/12 + 4400·42,41² + 18·180³/12 + 3240·57,59² = 2,755 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento negativo: la parte superiore è tesa, quella inferiore compressa.

bordo superiore: M = 60·2,755 × 10⁷/52,41 = 31,55 kN·m

bordo inferiore: M = 120·2,755 × 10⁷/147,6 = 22,4 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 22,4 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 22,4 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 53,85 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((130 − 90)/2)² + 50²) = 53,85 MPa

Risposta

τ_max = 53,85 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −0,359 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −70·0,5 + 40·0,866 = −0,359 MPa

Risposta

τ_θ = −0,359 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 8,889 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 24000·2000³/(3·7,2 × 10¹²) = 8,889 mm

Risposta

δ_P = 8,889 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 25,38 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm, EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·1500³/(48·9,35 × 10¹⁰) = 22,56 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·1500⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 2,82 mm

Sommale

δ_max = 22,56 + 2,82 = 25,38 mm

Risposta

δ_max = 25,38 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 67,29 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/750² = 67288 N = 67,29 kN

Risposta

P_cr = 67,29 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 85,92 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 85,92 mm

Risposta

d = 85,92 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 186,2, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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