Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 50 mm, lunghezza 500 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,5 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 95 kNtratto 1: Ø25 mm, 2 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in acciaio (diametro esterno 40 mm, diametro interno 30 mm, lunghezza 2 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 200 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 200 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 100 kW a 500 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,8 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 75 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 100 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 35 kN·m in x = 2 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a sinistra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mM₀ = 35 kN·m orario, in 2 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 8 mw = 4 kN/m da 4 a 7 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 180 mm con due ali verticali, alta 80 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 12 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 180 mmh = 80 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 130 mm e spesse 12 mm, un’altezza complessiva di 240 mm e un’anima spessa 8 mm. Porta un momento flettente di 80 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione massima σ_max nella sezione.

B = 130 mmH = 240 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 350 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di von Mises (energia di distorsione).

σ_x = −50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico concentrato P in mezzeria. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 6 mP = 45 kN in 3 m

M_A = kN·m

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 60,73 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,5/8,234 × 10⁻⁶ = 60727 N = 60,73 kN

Risposta

P = 60,73 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 302,4 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 302,4 MPa

Risposta

σ_max = 302,4 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,667 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Angolo di torsione

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·2000/(80000·171806) = 0,0291 rad

φ = 0,0291·180/π = 1,667°

Risposta

φ = 1,667°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 60,34 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 1910 N·m = 1,91 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·75·0,5904)) = 60,34 mm

d_i = 0,8·60,34 = 48,27 mm

Risposta

d_o = 60,34 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 50,62 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −8,75 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/8 = 4,375 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −4,375 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a sinistra della coppia

La parte sinistra contiene solo R_A.

M_x = R_A·a = −4,375·2 = −8,75 kN·m

Risposta

M_x = −8,75 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 16,76 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, applicata in x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·3·5,5

R_B = 66/8 = 8,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 8,25 = 3,75 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 3,75/4 = 4,938 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 3,75·4,938 − 4·0,9375²/2 = 16,76 kN·m

Risposta

M_max = 16,76 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 23,22 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 180·12 = 2160 mm², y₁ = 6 mm

due ali: A₂ = 2·12·68 = 1632 mm², y₂ = 12 + 68/2 = 46 mm

Baricentro

ȳ = (2160·6 + 1632·46)/3792 = 23,22 mm

Risposta

ȳ = 23,22 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_max = 202,9 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 240 − 2·12 = 216 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·240³ − 122·216³)/12

I_x = 4,73 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

y = 120 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·120/4,73 × 10⁷ = 202,9 MPa

Risposta

σ_max = 202,9 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = 52,47 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = −20/77,62 = −0,2577, sin 2θ_s = −(−75)/77,62 = 0,9662

2θ_s = atan2(75, −20) = 104,9°

Angolo sull’elemento

θ_s = 52,47°

verifica: θ_s − θ_p = 52,47 − (−82,53) = 135°

Risposta

θ_s = 52,47°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 2,858

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 0 MPa, R = 70,71 MPa

σ₁ = 70,71 MPa, σ₂ = −70,71 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(70,71² − 70,71·(−70,71) + (−70,71)²) = 122,5 MPa

n = 350/122,5 = 2,858

Risposta

n = 2,858

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 29,78 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 29,78 mm

Risposta

δ = 29,78 mm

12.Freccia della trave

Risposta: M_A = 50,63 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 135 − 84,38 = 50,63 kN·m

Risposta

M_A = 50,63 kN·m

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 13,16 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2000² = 13159 N = 13,16 kN

Risposta

P_cr = 13,16 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 21,93 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Risposta

σ_cr = 21,93 MPa

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