Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 20 kNtratto 1: Ø30 mm, 1,5 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 500 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,5 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 50 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone trasmette 20 kW a 1450 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 50 MPa e la torsione non deve superare 1° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 5 kN/m da 0 a 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 45 kN in 2 mw = 5 kN/m da 0 a 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 150 mm ha un foro circolare di diametro 30 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 90 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del foro: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 100 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 40 mm e alto 40 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 144 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 240 mmintaglio: 40 × 40 mmcentro del foro: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −80 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 1500 mm e spessore di parete di 5 mm contiene gas a una pressione relativa di 1,5 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 30° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 1500 mmt = 5 mmp = 1,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 458,4 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/200000 = 0,0004584 = 458,4 µε

Risposta

ε = 458,4 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,205 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 28,29 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 28,29·1500/117000 = 0,3627 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99,47·2000/70000 = 2,842 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,205 mm

Risposta

δ = 3,205 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 37,87 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0,9375)) = 37,87 mm

d_i = 0,5·37,87 = 18,94 mm

Risposta

d_o = 37,87 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 37,07 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 37,47 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Diametro per la resistenza

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

d_τ = ∛(16·131714/(π·50)) = 23,76 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·131714/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 37,47 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(23,76, 37,47) = 37,47 mm

Risposta

d = 37,47 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 15,63 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 12,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 15,63 kN·m

Risposta

M_x = 15,63 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 80 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 5·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 30 = 45 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 45·2 − 5·2·1 = 80 kN·m

Risposta

M_x = 80 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (15000·75 − 706,9·90)/(15000 − 706,9) = 74,26 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·150³/12 + 15000·0,7418² = 28,13 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,74² = 0,2149 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

Baricentro

ȳ = (24000·120 − 1600·144)/(24000 − 1600) = 118,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·240³/12 + 24000·1,714² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

40·40³/12 + 1600·25,71² = 1,271 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = −48,56 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −80 − −70) = −97,13°

Angolo sull’elemento

θ_p = −48,56°

Risposta

θ_p = −48,56°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 196,9 MPa

Tensioni nella parete

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,5·750/5 = 225 MPa

σ_a = pr/(2t) = 112,5 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 112,5·sin²30° + 225·cos²30° = 196,9 MPa

Risposta

σ_n = 196,9 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 3,501 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 3,501 mm

Risposta

δ_max = 3,501 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 327,3 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·4000⁴/(384·11000·11,11) = 3,273 × 10⁸ mm⁴

I_req = 327,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 327,3 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 3,886 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/4000² = 3886 N = 3,886 kN

Risposta

P_cr = 3,886 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 36,26 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233,3² = 36,26 MPa

Risposta

σ_cr = 36,26 MPa

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