Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 250 MPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 120 mm, diametro interno 70 mm, E = 110 GPa, tensione ammissibile 50 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in ottone (diametro esterno 80 mm, diametro interno 56 mm, lunghezza 1,2 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 750 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 750 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 15 kW a 3000 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,6 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 50 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 15 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 12 kN/m da 0 a 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 30 kN in 2 mw = 4 kN/m da 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 220 mm e spesse 16 mm, un’altezza complessiva di 300 mm e un’anima spessa 10 mm. Trova il suo modulo di resistenza elastico S_x per la flessione attorno all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 220 mmH = 300 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 84 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 240 mmintaglio: 50 × 30 mmcentro del foro: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Trova la tensione equivalente di von Mises σ_vM.

σ_x = 60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acciaio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1492 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 60·1000/201,1 = 298,4 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 298,4/200000 = 0,001492 = 1492 µε

Risposta

ε = 1492 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 487,3 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1,072 × 10⁹ N

Deformazione governante

ε = min(0,00125, 0,0004545) = 0,0004545 (bronzo)

Carico massimo

P_max = 0,0004545·1,072 × 10⁹ = 487304 N = 487,3 kN

Risposta

P_max = 487,3 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,4327 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Angolo di torsione

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1200/(39000·3,056 × 10⁶) = 0,007552 rad

φ = 0,007552·180/π = 0,4327°

Risposta

φ = 0,4327°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 17,74 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·50·0,8704)) = 17,74 mm

d_i = 0,6·17,74 = 10,65 mm

Risposta

d_o = 17,74 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 16,94 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 24 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 30·4 − 12·4·2 = 24 kN·m

Risposta

M_x = 24 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 37,5 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 4·5·2,5

R_B = 110/5 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 22 = 28 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 28·1,5 − 4·1,5·0,75 = 37,5 kN·m

Risposta

M_x = 37,5 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: S_x = 1054 × 10³ mm³

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 300 − 2·16 = 268 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·300³ − 210·268³)/12

I_x = 1,581 × 10⁸ mm⁴

Modulo di resistenza

c = H/2 = 150 mm

S_x = I/c = 1,581 × 10⁸/150

S_x = 1,054 × 10⁶ mm³ = 1054 × 10³ mm³

Risposta

S_x = 1054 × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 170,7 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (36000·120 − 1500·84)/(36000 − 1500) = 121,6 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·240³/12 + 36000·−1,565² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

50·30³/12 + 1500·−37,57² = 2,229 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 170,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 170,7 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = −19,33 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 100 − 50) = −38,66°

Angolo sull’elemento

θ_p = −19,33°

Risposta

θ_p = −19,33°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_vM = 101,5 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 50 MPa, R = 50,99 MPa

σ₁ = 101 MPa, σ₂ = −0,9902 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(101² − 101·(−0,9902) + (−0,9902)²) = 101,5 MPa

Risposta

σ_vM = 101,5 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 66,83 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 66,83 mm

Risposta

δ_max = 66,83 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·200000·16,67) = 1,012 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 10,13 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 10,66 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/5000² = 10659 N = 10,66 kN

Risposta

P_cr = 10,66 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 21,93 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Risposta

σ_cr = 21,93 MPa

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