Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di bronzo (diametro 60 mm, lunghezza 400 mm, E = 110 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,3 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 60 kNtratto 1: Ø30 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 25 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 400 N·m agisce in B, a 3 m da A, e un momento torcente di 500 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 2 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 25 mmT_B = 400 N·mT_C = 500 N·mAB = 3 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

45 kN @ 2 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 15 kN in 2,5 mw = 4 kN/m da 0 a 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 200 mm × 150 mm ha un intaglio rettangolare largo 60 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 52,5 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 150 mmintaglio: 60 × 30 mmcentro del foro: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 10 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 60° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θ_A della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 11 kNw = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 27,69 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1,286 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,3/1,084 × 10⁻⁵ = 27687 N = 27,69 kN

Risposta

P = 27,69 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 5,112 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 84,88·1000/100000 = 0,8488 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·1000/70000 = 4,263 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,112 mm

Risposta

δ = 5,112 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 4,669 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·38350) = 0,08149 rad

φ = 0,08149·180/π = 4,669°

Risposta

φ = 4,669°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 163 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 400 = 100 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Risposta

τ_max = 163 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 60 kN, R₂ = 30 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 150, M_D = 180 kN·m, M_E = 120, M_F = 60, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 180 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 21,56 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2,5 + 4·4·2

R_B = 69,5/4 = 17,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 17,38 = 13,63 kN

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 13,63·2,5 − 4·2,5·1,25 = 21,56 kN·m

Risposta

M_x = 21,56 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 88,97 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

anima: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·310 + 6000·150)/8400 = 195,7 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·20³/12 + 2400·(310 − 195,7)² = 3,143 × 10⁷ mm⁴

anima: 20·300³/12 + 6000·(150 − 195,7)² = 5,754 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,143 × 10⁷ + 5,754 × 10⁷ = 8,897 × 10⁷ mm⁴ = 88,97 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 88,97 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 55,15 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (30000·75 − 1800·52,5)/(30000 − 1800) = 76,44 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,436² = 56,31 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

60·30³/12 + 1800·−23,94² = 1,166 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 55,15 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 55,15 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 33,69 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 10 − −40) = 67,38°

Angolo sull’elemento

θ_p = 33,69°

Risposta

θ_p = 33,69°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 37,68 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 50 + −10·−0,5 + −20·0,866 = 37,68 MPa

Risposta

σ_θ = 37,68 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: θ_A = 0,005316 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Rotazione all’estremo

θ_A = wL³/(24EI) = 10·2000³/(24·6,27 × 10¹¹) = 0,005316 rad

Risposta

θ_A = 0,005316 rad

Cioè 0,3046°.

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 16 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 11000 N, w = 5 N/mm, L = 8000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 11000·8000³/(48·2,4 × 10¹³) = 4,889 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 11,11 mm

Sommale

δ_max = 4,889 + 11,11 = 16 mm

Risposta

δ_max = 16 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 347,3 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Risposta

P_cr = 347,3 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 19,28 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Risposta

σ_cr = 19,28 MPa

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