Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 120 mm, diametro interno 50 mm, E = 100 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 100 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 100 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) e un tratto di ottone (diametro 50 mm, lunghezza 300 mm, E = 100 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 30 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 20 kW a 750 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 5 kN/m da 0 a 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 9,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mP = 25 kN in 9 mw = 2 kN/m da 0 a 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 30 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 1200 mm e spessore di parete di 12 mm contiene gas a una pressione relativa di 1 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 35° rispetto all’asse del cilindro. Trova il modulo della tensione tangenziale |τ_n| che agisce lungo la cordatura di saldatura.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 1 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 10 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 12 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,07435 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·9346 = 1,076 × 10⁹ N

Accorciamento

δ = 100000·800/1,076 × 10⁹ = 0,07435 mm

Risposta

δ = 0,07435 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 8,642 MPa

Rigidezze

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 30000·654498/1,157 × 10⁶ = 16968 N

Tensione

σ₂ = 16968/1963 = 8,642 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 8,642 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 18,01 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·79522) = 0,3144 rad

φ = 0,3144·180/π = 18,01°

Risposta

φ = 18,01°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 3,705 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·40/2,749 × 10⁶ = 3,705 MPa

Risposta

τ_max = 3,705 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 16,88 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 15·1,5 − 5·1,5·0,75 = 16,88 kN·m

Risposta

M_x = 16,88 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 16 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·9 + 2·10·5

R_B = 325/10 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 32,5 = 12,5 kN

Taglia in x = 9,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 12,5·9,5 − 25·(9,5 − 9) − 2·9,5·4,75 = 16 kN·m

Risposta

M_x = 16 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 42,65 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

anima: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·272,5 + 2080·130)/7580 = 233,4 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·25³/12 + 5500·(272,5 − 233,4)² = 8,696 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·260³/12 + 2080·(130 − 233,4)² = 3,395 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,696 × 10⁶ + 3,395 × 10⁷ = 4,265 × 10⁷ mm⁴ = 42,65 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 42,65 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 234,3 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

anima: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·205 + 2400·100)/3800 = 138,7 mm

Teorema del trasporto

ala: 140·10³/12 + 1400·(205 − 138,7)² = 6,169 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·200³/12 + 2400·(100 − 138,7)² = 1,159 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,169 × 10⁶ + 1,159 × 10⁷ = 1,776 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 138,7 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·138,7/1,776 × 10⁷ = 234,3 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 234,3 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = −58,28 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −60 − 0) = −116,6°

Angolo sull’elemento

θ_p = −58,28°

Risposta

θ_p = −58,28°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: |τ_n| = 11,75 MPa

Tensioni nella parete

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1·600/12 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

|τ_n| = (50 − 25)·sin 35°·cos 35° = 11,75 MPa

Risposta

|τ_n| = 11,75 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 6,563 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 10000·3000³/(3·1,68 × 10¹³) = 5,357 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 1,205 mm

Sommale

δ = 5,357 + 1,205 = 6,563 mm

Risposta

δ = 6,563 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 18,22 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·4000³/(48·1,61 × 10¹²) = 9,938 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 8,282 mm

Sommale

δ_max = 9,938 + 8,282 = 18,22 mm

Risposta

δ_max = 18,22 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 2,366 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Risposta

P_cr = 2,366 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 1,974 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/10 = 1000

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1,974 MPa

Risposta

σ_cr = 1,974 MPa

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