Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di acciaio sotto il carico assiale.

P = 10 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 60 kNtratto 1: Ø40 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in ottone è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 60 mm e lunghezza 0,5 m; il tratto BC ha diametro 50 mm e lunghezza 1 m. Un momento torcente di 1000 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 50 mm, L₂ = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 15 kW a 300 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

10 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 0 m60 kN @ 6 m35 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Un tubo circolare ha diametro esterno D = 150 mm e diametro interno d = 126 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

D = 150 mmd = 126 mm

r = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 100 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 40 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 210 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 300 mmintaglio: 40 × 20 mmcentro del foro: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 60 mm porta una forza assiale di trazione di 100 kN insieme a un momento torcente di 500 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 60 mmF = 100 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acciaio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 26 kNw = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,9549 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,0006366·1500 mm = 0,9549 mm

Risposta

δ = 0,9549 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 530,5 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 530,5 MPa

Risposta

σ_max = 530,5 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 2,972 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01008 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1000/(39000·613592) = 0,04179 rad

Torsione totale

φ_C = 0,01008 + 0,04179 = 0,05186 rad = 2,972°

Risposta

φ_C = 2,972°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 40,53 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·20/235619 = 40,53 MPa

Risposta

τ_max = 40,53 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 3 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 50 kN, R₂ = 50 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 42,5, M_C = 70, M_D = 82,5 kN·m, M_E = 70, M_F = 42,5, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 82,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 5 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 81,25 kN, R₂ = 88,75 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −55, M_C = −31,25, M_D = −12,5, M_E = −33,75, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = −60 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 48,97 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

A = π(D² − d²)/4 = 5202 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,248 × 10⁷ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(1,248 × 10⁷/5202) = 48,97 mm

Risposta

r = 48,97 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (30000·150 − 800·210)/(30000 − 800) = 148,4 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·300³/12 + 30000·1,644² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

40·20³/12 + 800·61,64² = 3,067 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 62,65 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((50 − −60)/2)² + 30²) = 62,65 MPa

Risposta

τ_max = 62,65 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 38,94 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = 100000/(π·60²/4) = 100000/2827 = 35,37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 17,68 MPa

R = √(17,68² + 11,79²) = 21,25 MPa

σ₁ = C + R = 38,94 MPa

σ₂ = C − R = −3,569 MPa

Risposta

σ₁ = 38,94 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 10,55 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 10,55 mm

Risposta

δ_max = 10,55 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 37,37 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, w = 10 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·5000³/(48·3,99 × 10¹²) = 16,97 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 20,4 mm

Sommale

δ_max = 16,97 + 20,4 = 37,37 mm

Risposta

δ_max = 37,37 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 15,5 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15,5 kN

Risposta

P_cr = 15,5 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 7,676 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Risposta

σ_cr = 7,676 MPa

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